suy ra a+b +c -2013 = 0 và 2013(ab+bc+ca) -abc =0

suy ra: a+ b +c =2013 và 2013 .(ab +bc +ca )= abc

suy ra: c =2013- (a+ b ) và 1/a + 1/b +1/c = 1/2013 (2)

thay c =2013- (a+ b ) vào ( 2), biến đổi ta tìm đc: ab = 2013(a+b) -2013². Tương tự ta có: bc = 2013(c+b) -2013².

và ac = 2013(c+a) -2013². . Cộng lại ta có: ab +bc + ca = 2013. 2. (a+b+c) -3.2013²=-2013²

suy ra: abc = -2013³. Từ đó ta tính được hai trong ba số a,b,c bằng 2013 và số còn lại = -2013

P = 1/2013²⁰¹³

Ta có BĐT sau: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng, ta được: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x^2+1+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)(1)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)(2); \(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)(3)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)

\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)(Nhân 2 vế của bất đẳng thức với \(2-\sqrt{2}>0\))           (4)

Cộng theo vế của 4 BĐT (1), (2), (3), (4), ta được:

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)

\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)(Do theo giả thiết thì \(x+y+z\le3\))

hay \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le6+3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(6+3\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = z = 1

bn đang nằm mơ hay sao jậy

ừ :v t đang mơ đấy..nên đừng phá để t mơ tiếp

We have : 

\(A=\frac{-2a}{2ab+2a+1}-\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{-2ac-c-1}\)

\(=\frac{-2a}{2ab+2a+2abc}-\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{-2abc-bc-b}\)(\(abc=\frac{1}{2}\))

\(=\frac{-2a}{2a\left(bc+b+1\right)}-\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{-\frac{2.1}{2}-bc-b}\)(\(abc=\frac{1}{2}\))

\(=\frac{-1}{bc+b+1}-\frac{b}{bc+b+1}-\frac{bc}{bc+b+1}\)

\(=\frac{-bc-b-1}{bc+b+1}=-1\)

The value of A is - 1 because \(abc=\frac{1}{2}\)