\(a+b+c=\frac{3}{2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)

hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{9}{4}\)

Suy ra \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) (tự c/m,không làm được ib)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge\frac{9}{4}-2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{4}-2.\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{3}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)

Easy!

Ta có: \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)

Tương tự: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b;c^2+\frac{1}{4}\ge c\)

Cộng 3 bđt vế theo vế ta được:

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2

CMR x² < 0 ( vô lí )

không chứng minh được , nhầm lẫn đề bài đâu đó bạn nhé :))

x² < 0

Vì 0 là số nhỏ nhất nên 0² = 0

Mà 0 = 0 nên bài toán này k có đáp số

đề bài có chút sai xót, sửa lại là

b) \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AI}{BI}\right)^2\)

\(1)\)

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab=a^3+b^3+ab\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

\(2)\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}\)

\(=2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

Có : \(\hept{\begin{cases}b-a< c\\c-b< a\\a-c< b\end{cases}}\)

\(2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)>2\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) ??? 

1.  A = a(a² + 2b) + b(b² - a)

A = a³ + 2ab + b³ - ab

A = a³ + ab + b³

A = ( a + b ) ( a² - ab + b² ) + ab

A = a² + b²

Mà ( a - b )² \(\ge\)0 với mọi a,b

 \(\Rightarrow\)a² + b² \(\ge\)2ab \(\Rightarrow\)2 . ( a² + b² ) \(\ge\)( a + b )² = 1 \(\Rightarrow\)( a² + b² ) \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)A \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)  . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b \(\frac{1}{2}\)

theo tính chất tia phân giác là ra mà

cái này ở trong đã có Định lí về đường phân giác rồi. thôi chứng minh đàng hoàng luôn vậy

A B C D E

Qua B kẻ đường song song với AC cắt AD tại E

Ta có : AD là phân giác nên \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BEA}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABE\)cân tại B suy ra AB = BE ( 1 )

Áp dụng hệ quả định lí Ta-let vào \(\Delta DAC\), ta có :

\(\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)

\(\Leftrightarrow y\left(3x+2\right)=7x+17-3x^2\)

Dễ thấy \(3x+2\ne0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{7x+17-3x^2}{3x+2}=-x+3+\frac{11}{3x+2}\)

Dể y nguyên thì \(3x+2\)phải là ước nguyên của 11

\(\Rightarrow3x+2=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

Bài 1:

x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x⁴-1+y⁴+1)

=xy(x⁴-1)-xy(y⁴-1)=xy(x²-1)(x²+1)-xy(y²-1)(y²+1)

=xy(x-1)(x+1)(x²+1)-xy(y-1)(y+1)(y²-1)

Mà:xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết 2;3;5

=>xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết cho 30

Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y²+1) chia hết cho 30

Nên x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30

Bài 2:

       x²+y²+z²=y(x+z)

<=>x²+y²+z²-yx-yz=0

<=>2x²+2y²+2z²-2yx-2yz=0

<=>(x – y)² + (y – z)² + x² + z² = 0

<=>x – y = y – z = x = z = 0

<=>x=y=z=0