Ta có xy=2 => \(y=\frac{2}{x}\)

ta có : M = \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{1}{x}+x+\frac{3}{2x+\frac{2}{x}}+\frac{2}{\frac{2}{x}}-x\)= \(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{3}{2\left(\frac{1}{x}+x\right)}\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta được :

M \(\ge2\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{x}+x\right)3}{\left(\frac{1}{x}+x\right)2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)

Dấu "="......

Vậy Min M = \(\sqrt{6}\) Khi ......

============

bấm đi bấm lại 2 lần , máy lỗi , phần tìm x,y bạn tự làm nhé 

=========================

\(VT=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}\)

Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)+\left(\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+b}\right)}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{b+c}{b+c}}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm ) 

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

cauchy - schwarz là bđt Cauchy à bạn

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+1\ge2\sqrt{x}\\x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+1\ge2\sqrt{y}\end{cases}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2\left(x+y+1\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\Rightarrow x+y+1\ge\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+1=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=y\\y=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)

Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=1+1=2\)

AM - GM?????

Cô-si chứ

a) Ta có: \(AB^2+AC^2=3^2+4^2=25\)

Và \(BC^2=5^2=25\) 

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại \(A\)(định lí Pytago đảo)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)có: \(AB.AC=AH.BC\) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\left(cm\right)\)

a,Xét tam giác ABC có : AB^2 +AC^2 =BC^2

Tương đương :  BC^2 : 3^2 +4^2 =25  

suy ra : BC=5

Vậy tam giác ABC vương tại A

b,Ta có : ABC là tam giác vuông tại A . Suy ra AB.AC=AH. BC. Suy ra AH = (AB.AC) /BC. AH=(3.4) /5=12/5 (cm)

Cần số hộp bánh :

30:3=10 hộp

10 hộp

mk hết ;lượt òi

Cộng 2 vế BĐT :

\(a-2\sqrt{a}+\frac{1}{4}\ge\sqrt{\frac{1}{a}}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-1\right)-\frac{7}{4}\)( 2 )

Ta có : \(\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-1\right)^2-\frac{7}{4}\le\frac{-7}{4}< 0\)

=>  ( 2 ) đúng => BDDT đúng

Đề sai.

Bạn thế a = 1 sẽ thấy ngay

\(1-2.\sqrt{1}\ge\sqrt{\frac{1}{1}}-\frac{1}{1}\)

\(\Leftrightarrow-1\ge0\) cái này đúng bằng niềm tin ah.

Toán bất đẳng thức khó làm mình làm khôg nói

Hình như bạn thiếu điều \(a\ge1\)

Thế vào thì bạn bấm máy ra thôi