a) 

\(25\cdot\left(\dfrac{-1}{5}\right)^3+\dfrac{1}{5}-2\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\\=-\dfrac{1}{5}\cdot\left[25\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^2+1\right]-\dfrac{1}{2}\left[2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\right]\\ =-\dfrac{1}{5}\cdot\left(25\cdot\dfrac{1}{25}+1\right)-\dfrac{1}{2}\left(-1+1\right)\\ =-\dfrac{1}{5}\left(1+1\right)-\dfrac{1}{2}\cdot0\\ =-\dfrac{1}{5}\cdot2\\ =-\dfrac{2}{5}\) 

b) 

\(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3:\dfrac{1}{9}+\left(\dfrac{-2022}{2023}\right)^0+1,5\\ =\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3:\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+1+1,5\\ =\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1+\dfrac{3}{2}\\ =\dfrac{-2}{6}+\dfrac{6}{6}+\dfrac{9}{6}\\ =\dfrac{13}{6}\) 

c) 

\(1-\left(\dfrac{5}{9}-\dfrac{2}{3}\right):\dfrac{4}{27}\\ =1-\left(\dfrac{5}{9}-\dfrac{6}{9}\right):\dfrac{4}{27}\\ =1-\dfrac{-1}{9}:\dfrac{4}{27}\\ =1+\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{27}{4}\\ =1+\dfrac{3}{4}\\ =\dfrac{7}{4}\) 

d) 

\(\dfrac{-12}{13}+\left(-5,6\right)-\dfrac{1}{13}-4,4+999^0-10\\ =\dfrac{-12}{13}+\dfrac{-28}{5}-\dfrac{1}{13}-\dfrac{22}{5}+1-10\\ =\left(\dfrac{-12}{13}-\dfrac{1}{13}\right)+\left(\dfrac{-28}{5}-\dfrac{22}{5}\right)+\left(1-10\right)\\ =\dfrac{-13}{13}+\dfrac{-50}{5}+\left(-9\right)\\ =\left(-1\right)+\left(-10\right)+\left(-9\right)\\ =-20\)

a) 

Thời gian 2 bạn đi đến khi gặp nhau là:

   7 giờ 45 phút - 7 giờ = 45 (phút) = \(\dfrac{3}{4}\) (giờ)

Trong 3/4 giờ, An đi được:

  \(12\times\dfrac{3}{4}=9\) (km)

Trong 3/4 giờ, Bình đi được:

  \(5\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{4}\) (km)

Vì 2 bạn đi ngược chiều nên tổng quãng đường hai bạn đi được đến khi gặp nhau chính là quãng đường AB

Nên: Quãng đường AB dài là:

  \(9+\dfrac{15}{4}=12,75\) (km)

     Đáp số: 12,75km

Thời gian hai bạn đã đi:

7 giờ 45 phút - 7 giờ = 45 phút = 0,75 giờ

Quãng đường An đã đi:

12 . 0,75 = 9 (km)

Quãng đường Bình đã đi:

5 . 0,75 = 3,75 (km)

Độ dài quãng đường AB:

9 + 3,75 = 12,75 (km)

Lời giải:

$3(1-4x)(x-1)+4(3x-2)(x+3)=-27$

$\Leftrightarrow 3(x-1-4x^2+4x)+4(3x^2+9x-2x-6)=-27$

$\Leftrightarrow 3(-4x^2+5x-1)+4(3x^2+7x-6)=-27$

$\Leftrightarrow -12x^2+15x-3+12x^2+28x-24=-27$

$\Leftrightarrow 43x-27=-27$

$\Leftrightarrow 43x=0$

$\Leftrightarrow x=0$

Lời giải:
Đặt $x^2+x+1=a$. Khi đó:

$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12=a(a+1)-12=a^2+a-12$

$=(a^2-3a)+(4a-12)=a(a-3)+4(a-3)=(a-3)(a+4)$

$=(x^2+x-2)(x^2+x+5)$

$=[x(x-1)+2(x-1)](x^2+x+5)$

$=(x-1)(x+2)(x^2+x+5)$

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)=0$

Hiển nhiên $\frac{1}{13}+\frac{1}{14}>\frac{1}{15}+\frac{1}{16}$

$\Rightarrow \frac{1}{13}+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}>0$

$\Rightarrow x-1=0$

$\Rightarrow x=1$

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$.

P/s: Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc hiểu đề của bạn hơn nhé. 

 Kẻ đường cao AH của tam giác ABC \(\left(H\in BC\right)\). Gọi F là trung điểm của BC. 

 Khi đó tam giác GBC vuông tại G có trung tuyến GF nên \(GF=\dfrac{1}{2}BC\)

 Lại có G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{3}AF\)

 \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{3}AF\) 

 \(\Rightarrow\dfrac{AF}{BC}=\dfrac{3}{2}\)

 \(\Rightarrow BC=\dfrac{2}{3}AF\)      (1)

 Mặt khác, tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow cotB=\dfrac{BH}{AH}\)

 Tương tự, \(cotC=\dfrac{CH}{AH}\)

 \(\Rightarrow cotB+cotC=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AF}{AH}\) \(\ge\dfrac{\dfrac{2}{3}AH}{AH}=\dfrac{2}{3}\)

 (vì AH, AF là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ A đến BC)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AH=AF\), nghĩa là đường cao bằng đường trung tuyến ứng với đỉnh A \(\Leftrightarrow\Delta ABC\) cân tại A.

 Ta có đpcm.

Bài 7:

$\frac{x}{6}-\frac{2}{y}=\frac{1}{30}$

$\frac{xy-12}{6y}=\frac{1}{30}$

$\frac{5(xy-12)}{30y}=\frac{y}{30y}$

$\Rightarrow 5(xy-12)=y$

$\Rightarrow 5xy-60-y=0$

$\Rightarrow y(5x-1)=60$

Do $x,y$ là số nguyên nên $5x-1$ cũng là số nguyên. Mà $y(5x-1)=60$ nên $5x-1$ là ước của $60$.

Mà $5x-1$ chia $5$ dư $4$ nên:

$5x-1\in \left\{-1; -6;4\right\}$

Với $5x-1=-1\Rightarrow x=0$

$y=\frac{60}{5x-1}=\frac{60}{-1}=-60$

Với $5x-1=-6\Rightarrow x=-1$

$y=\frac{60}{-6}=-10$

Với $5x-1=4\Rightarrow x=1$

$y=\frac{60}{4}=15$
Vậy $(x,y)=(0,-60), (-1,-10), (1,15)$

Bài 6:

a. $(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+100)=5750$

$(x+x+....+x)+(1+2+3+...+100)=5750$

Số lần xuất hiện của $x$: $(100-1):1+1=100$

Do đó:

$100x+(1+2+3+...+100)=5750$

$100x+100.101:2=5750$

$100x+5050=5750$

$100x=700$

$x=700:100$

$x=7$

b.

\((\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{8.9.10})x=\frac{44}{45}\\ (\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{8.9.10})x=\frac{88}{45}\\ (\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+...+\frac{10-8}{8.9.10})x=\frac{88}{45}\\ (\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10})x=\frac{88}{45}\\ (\frac{1}{1.2}-\frac{1}{9.10})x=\frac{88}{45}\\ \frac{22}{45}x=\frac{88}{45}\\ x=\frac{88}{45}: \frac{22}{45}=4\)

A)(Cái này mk ko biết tính nhanh)

 = 252 + 57

= 309

B)= (238 x 5) x (25 x 34)

   = 1190 x 850

   = 1 011 500

A; 398 - 146 + 111 - 54

= (398 + 111) - (146 + 54)

= 509 - 200

= 309 

B,    238 x 34 x 25 x 5

   = 119 x 2 x 2 x 17 x 25 x 5 

  =  (119 x 5 x 17) x (2 x 2 x 25)

 =  (595 x 17) x (4 x 25)

= 10115 x 100

= 1011500

ĐK: \(a\ne-2\); \(a\in\mathbb{Z}\)

\(P=\dfrac{a-1}{a+2}=\dfrac{a+2-3}{a+2}=1-\dfrac{3}{a+2}\)

Để \(P\in\mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{3}{a+2}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow3⋮a+2\)

\(\Rightarrow a+2\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow a+2\in\left\{1;3;-1;-3\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{-1;1;-3;-5\right\}\) (tmđk)

a,

\(-\frac{9}{11}<\frac 9x<-\frac{9}{13}\\\Rightarrow \frac{-11}{9}>\frac x9 >\frac{-13}{9}\\ \Rightarrow -11>x>-13\)

b, 

\(-\frac35<\frac 9x <-\frac49\\\Rightarrow -\frac53>\frac x9>-\frac 94\\\Rightarrow \frac{-60}{36}>\frac{4x}{36}>\frac{-81}{36}\\\Rightarrow -60>4x>-81\\\Rightarrow -15>x>-\frac{81}{4}\)