1.Cho (O;R). Qua điểm M nằm trong đương tròn vẽ các dây CD và EF không đi qua O. Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau ở A, tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại B. Chứng minh OM vuông góc với AB

2. Cho (O) và đường thẳng d không cắt (O).  Gọi H là hình chiếu của (O) trên d. Từ H vẽ các cát tuyến HCD và HAB với (O) (C nằm giữa H và D, A nằm giữa H và B, các cát tuyến không đi qua O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt d tại M. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt d tại M. Chứng minh \(ΔOMN\) cân

7. Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp { 0; 1; 2;...; 14}   .  Chứng minh rằng tồn tại 2 tập hợp con B₁, B₂ của A \(\left(B_1\ne B_2\ne\varnothing\right)\)sao cho tổng các phần tử của B₁ bằng tổng các phần tử của B₂.

8. Người ta viết lên bảng 2013 số  \(\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2013}\). Mỗi lần thực hiện xóa đi hai số x, y bất kì thì thêm vào 1 số mới \(z=\frac{xy}{x+y+1}\)

, giữ nguyên các số còn lại. Sau 2012 lần xóa trên bảng còn lại một số . Tìm số đó

4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.

Chứng minh rằng qua mỗi điểm có không quá 5 đoạn thẳng

5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706. 

Chứng minh rằng tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a

6. Cho tập hợp \(X=\left\{1;\sqrt{2};\sqrt{3};...;\sqrt{2012}\right\}\)

Chứng minh rằng Trong 45 số khác nhau bất kì được lấy từ X luôn tồn tại 2 số a và b sao cho  |a-b|<1

TOÁN RỜI RẠC

1. Cho tam giác ABC có độ dài các đường phân giác trong nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng diện tích tam giác đó nhỏ hơn \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 

2.Cho n số nguyên dương đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để tổng của 3 số bất kì trong n số luôn là 1 số nguyên tố

3. Một hình chữ nhật có kích thước 3x4 được chia thành 12 hình vuông đơn vị bởi các đường thẳng song song với cạnh.

- Chứng minh rằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật luôn có thể chọn ra 2 điểm có khoảng cách không vượt quá \(\sqrt{5}\)

- Chứng minh rằng kết luận của bài toán vẫn đúng khi số điểm là 6 và sai khi số điểm là 5.