a) 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹

= (1 + 3 + 3² + 3³) + ... + (3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

= 40 + ... + 3⁸.(1 + 3 + 3² + 3³)

= 40 + ... + 3⁸. 40

= (1 + ... + 3⁸) . 40 \(⋮\)40

b) Ta có: B = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) 

        =>    B = \(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{100.100}\)< \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)

       => B < \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

      => B <\(1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)-...-\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{99}\right)-\frac{1}{100}\)

     => B < \(1-\frac{1}{100}\)

    => B < 1

bạn hãy thay x=1 vào trong phương trình thì sẽ ra

2(2*1+1) +18=3(1+2)(2*1+n)

2(2+1)+18=3*3*(2+n)

4+2+18=18+9n

4+2+18-18=9n

6=9n

\(\frac{6}{9}=n\)

\(\frac{2}{3}=n\)

vậy \(n=\frac{2}{3}\)

\(2\left(2x+1\right)+18=3\left(x+2\right)\left(2x+n\right)\)

Thay \(x=1\)ta có :

\(2\left(2\cdot1+1\right)+18=3\left(1+2\right)\left(2\cdot1+n\right)\)

\(\Leftrightarrow6+18=9\cdot\left(2+n\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(n+2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow9n+18=24\)

\(\Leftrightarrow9n=6\)

\(\Leftrightarrow n=\frac{2}{3}\)

Vậy....

\(A=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(12A=12x^2+12y^2-12xy-12x+12y+12\)

\(=3\left(x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+9y^2+4-18xy-12x+12y+8\)

\(=3\left(x+y\right)^2+\left(3x-3y-2\right)^2+8\ge8\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\3x-3y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Vậy \(minA=\frac{2}{3}\).

Gọi x là chi tiết máy tổ l làm được,(800-x) là chi tiết máy tổ ll làm được ta có:

x+15%x+(800-x)+(800-x).20%=945

x+15%x+800-x+16000%-20%x=945

-5%+800+160=945

-5%x=-15

x=(-15):(-5%)=300

Vậy tổ l làm được 300 chi tiết máy, tổ ll làm được 500 chi tiết máy.

Gọi x là số chi tiết máy tổ I làm được, (800-x) là số chi tiết máy tổ II làm được ta có:
x + 15%x + (800 - x) + (800 - x).20% = 945
x + 15%x + 800 - x + 16000% - 20%x = 945
-5%x + 800 + 160 = 945
-5%x = -15
x = -15: (-5%) = 300
vậy tổ I làm được 300 chi tiết máy, tổ II làm được 500 chi tiết máy

Ta có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}=\frac{2ac}{a+c}\)

Thế \(b=\frac{2ac}{a+c}\) vào M, ta được:

 \(M=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{1+\frac{2c}{a+c}}{2-\frac{2c}{a+c}}+\frac{1+\frac{2a}{a+c}}{2-\frac{2a}{a+c}}\)

\(M=\frac{\left(a+c\right)+2c}{2\left(a+c\right)-2c}+\frac{\left(a+c\right)+2a}{2\left(a+c\right)-2a}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{3a+c}{2c}\)

\(M+2=\frac{a+3c}{2a}+1+\frac{3a+c}{2c}+1=\frac{3a+3c}{2a}+\frac{3a+3c}{2c}=\frac{3}{2}\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Xét \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\Leftrightarrow...\)(bạn tự biến đổi tương đương để chứng minh nó nhé)

(ĐK xảy ra dấu "=": a=c)

Do đó \(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(2+2\right)=6\Leftrightarrow M\ge4\)

Vậy GTNN của \(M=4\)khi \(a=c\Leftrightarrow\frac{2}{b}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow b=a=c\)

Chúc bạn học tốt!

P/S: bài này khó thật đấy! Mình chuyên toán 9 mà giải hết nửa tiếng mới xong :D!

2:

a: HM là đường trung bình của ΔEBC

=>EH=HB

KM là đường trug bình của ΔFBC

=>FK=KC

ΔAHM có EO//HM

=>AE/AH=AO/AM

ΔAKM có KM//FO

nên AF/AK=AO/AM

=>AE/AH=AF/AK

=>EF//HK

b: ΔAHM có EO//HM

=>MA/MO=HA/HE

=>MA/MO=HA/HB

ΔAKM có FO//KM

=>MA/MO=KA/KF=KA/KC

=>HA/HB=KA/KC

=>HK//BC

=>EF//BC