\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)

Từ đây ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)

Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A

Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)

=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)

=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)

bạn chép sai đề nhé

sửa lại:

\(P=\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(P=\left[1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right]\left[1+\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right]\)

\(P=\left[1-\sqrt{a}\right]\left[1+\sqrt{a}\right]\)

\(P=1-a=vp\)

Vậy đẳng thức được chưng minh

b)  \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}+1\right|\)

\(=\sqrt{3}+1\)\(\left(\sqrt{3}+1>0\right)\)

Thay vào ta được \(P=1-\left(\sqrt{3}+1\right)\)

\(P=1-\sqrt{3}-1\)

\(P=-\sqrt{3}\)

vậy \(P=-\sqrt{3}\)khi \(a=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

hi...sao bạn bit đề đó sai????

\(\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}=x^2\)

\(\sqrt{x^2\left(x-1\right)}+\sqrt{x^2.\left(x-1\right)}=x^2\)

\(\left|x\right|.\sqrt{x-1}+\left|x\right|\sqrt{x-1}=x^2\)

\(\sqrt{x-1}.\left(\left|x\right|+\left|x\right|\right)=x^2\)

\(2.\left|x\right|.\sqrt{x-1}=x^2\)

\(\sqrt{x-1}=\frac{x^2}{2\left|x\right|}\)

\(\sqrt{x-1}=\frac{x}{2}\)

\(x-1=\frac{x^2}{4}\)

\(4.\left(x-1\right)=x^2\)

\(4x-4=x^2\)

\(-x^2+4x-4=0\)

\(-\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(-\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-2=0\)

\(\Rightarrow x=2\)

vậy \(x=2\)

Nhân cả 2 vế của (2) với 2 ta được: \(2xy+2yx-2xz=14\left(4\right)\)

Lấy (3) trừ (4) ta được: \(x^2+y^2+z^2-2xy-2yx-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y=x+z\)

Thay vào (1) ta được: \(y=x+z=3\)

Khi đó ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x+z=3\\x^2+y^2=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+z=3\\xz=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\z=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\z=1\end{cases}}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm: \(\left(1;3;2\right);\left(2;3;1\right)\)

Nhân 2 vế của (2) cho 2 

2xy+2yz-xz=(-1).2 

Why? bằng 14?

thế mà vẫn có người cho đúng 

nhầm,\(\sqrt{4x^2+9x+2}\)