Với a, b, c là các số dương, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}=\frac{a+b+c}{a+3b+b+3c+c+3a}=\frac{a+b+c}{4a+4b+4c}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)(*)

\(\Leftrightarrow3ba+3b+\frac{3c}{b+3c}+\frac{3a}{c+3a}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow1-3ba+3b+1-\frac{3c}{b+3c}+1-\frac{3a}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - swarch có

\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\)

Ta sẽ chứng minh : \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Từ (1) \(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(đúng)

Vậy (*) đúng

\(\sqrt{a+2016}\)- \(\sqrt{a+2013}\) = (\(\sqrt{a+2016}\)- \(\sqrt{a+2013}\))  . (\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)) / \(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)[ nhân cả tử và mẫu với (\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)), (mẫu cũ =1) ]

= (a+2016)-(a+2013)/\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)

k mk nha

\(\frac{\left(a+2016\right)-\left(a+2013\right)}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}\)\(=\frac{\left(\sqrt{a+2016}\right)^2-\left(\sqrt{a+2013}\right)^2}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}=\frac{\left(\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}\right)\left(\sqrt{a+2016}-\sqrt{a-2013}\right)}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}\)

\(=\sqrt{a+2016}-\sqrt{a+2013}\)

A C B H F G D E J

a) Do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B nên theo đúng định nghĩa, ta có \(OB\perp BA\Rightarrow\widehat{OBA}=90^o\)

Vậy tam giác ABO vuông tại B.

Xét tam giác vuông OAB, áp dụng định lý Pi-ta-go ta có : 

\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

b) Ta có BC là dây cung, \(OH\perp BC\) 

Tam giác cân OBC có OH là đường cao nên nó cũng là tia phân giác góc COB.

Xét tam giác OCA và OBA có: 

OC = OB ( = R)

OA chung

\(\widehat{COA}=\widehat{BOA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta OCA=\Delta OBA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^o\). Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C.

c) Ta có BC là dây cung, OH vuông góc BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có H là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông OBA có BH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(HB.OA=OB.BA\Rightarrow HB=\frac{R.R\sqrt{3}}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

Vậy thì BC = 2HB = \(R\sqrt{3}\)

Do \(\Delta OCA=\Delta OBA\Rightarrow CA=BA\)

Xét tam giác ABC có \(AB=BC=CA=R\sqrt{3}\) nên nó là tam giác đều.

d) Gọi G là trung điểm của CA; J là giao điểm của AE và HD, F' là giao điểm của AE và OB

Ta cần chứng minh F' trùng F.

Dễ thấy HD // OB; HG // AB mà \(AB\perp OB\Rightarrow HD\perp GH\) hay D là tiếp tuyến của đường tròn tại H.

Từ đó ta có : \(\widehat{EHJ}=\widehat{EAJ}\)  

Vậy thì \(\Delta HEJ\sim\Delta AHJ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EJ}{HJ}=\frac{HJ}{AJ}\Rightarrow HJ^2=EJ.AJ\)

Xét tam giác vuông JDA có DE là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(JD^2=JE.JA\)

Vậy nên HJ = JD.

Áp dụng định lý Ta let trong tam giác OAB ta có:

Do HD // OB nên \(\frac{HJ}{OF'}=\frac{JD}{F'B}\left(=\frac{AJ}{AF'}\right)\)

Mà HJ = JD nên OF' = F'B hay F' là trung điểm OB. Vậy F' trùng F.

Từ đó ta có A, E, F thẳng hàng.

dài vậy 😅😅😅

https://h oc 24 .vn/bg/batdangthucamgm/

A lot of rice is grown in Mekong delta

mk đc giải nhất HSG Huyện môn Anh nên chắc chắn 100%

A lot of rice are grown in Mekong delta

@_@

^^

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số không âm, ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)

\(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)

\(\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)

công vế vs vế vs vế :\(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{z}}\le1\)

Ơ khu phố em, không ai lại không biết đến bà Năm, một bà già mù sống đơn độc trong gian nhà nhỏ gần cuối ngõ xóm. Bà cụ tuổi đã cao, người gầy gò, đi lai chậm chạp một phần vì lưng đã còng, một phần vì đôi mắt không còn trông thấy được gì. Theo lời nhiều người lớn trong ngõ kể lại, bà bị mù cả hai mắt do hồi nhỏ bà bị cơn sốc thuốc. Đến nay bà vẫn sống trong ngôi nhà cũ của cha mẹ để lại, không chồng con, cũng chẳng có tài sản gì. Thu nhập ít ỏi mà bà có được là do công việc chẻ tăm và đũa tre mà cô nhân đã nhận ở hội người mù về giao cho bà làm. Biết hoàn cảnh khó khăn của bà năm, một hôm Liên và Hà rủ em đến giúp đỡ bà cụ. Gian nhà tuềnh toàng nhưng cũng khá sạch sẽ do tính ngăn nắp của chủ nhân. Chắc hẳn mỗi sớm bà cụ đều mò mẫn quét nhà rồi mới ăn uống và làm việc. Liên bèn bảo em và Hà: - Chúng mình có chiều thứ ba, chiều thứ sáu và sáng chủi nhật là được rỗi. Chúng ta đến giúp bà cụ quét dọn nhà cửa, rửa li tách, mâm bát. Để bà cụ đỡ vất vả vì phải lấy nước ở nhà bên, sau mỗi buổi đến chơi và làm việc nhà giúp cụ, chúng em xách nước đổ đầy chum. Sẵn đám đất bỏ không sau nhà, chúng em làm sạch cỏ, trồng vào đấy mấy dây khoai lang. Chỉ tưới nước mấy hôm và sau đó gặp mưa, những đọt rau non đã choài ra. Thế là bà cụ có rau ăn rồi! Mỗi lần chúng em đến, bà cụ rất vui. Bà ngừng tay chẻ tăm, mỉm cười: - Các cháu ngoan và tốt bụng quá. Biết lấy gì để cảm ơn các cháu bây giờ? Bà kể chuyện cổ tích các cháu nghe nhé! Ba chúng em đều thích vỗ tay ầm lên. Vừa nhặt rau, đun lửa, chúng em vừa lắng nghe bà kể chuyện. Giọng bà chậm rãi, đôi mắt nhìn vào khoảng không trước mắt, tuy chẳng thấy gì nhưng có lẽ bà đang hình dung được cả thế giới cổ tích với những bà tiên, ông bụt luôn hiện ra giúp đỡ người hiền lành, khốn khó. Những lúc ấy, trông nét mặt bà cụ thật tươi vui và hạnh phúc. Chúng em cũng vậy, niền vui mà chúng em có được là đã làm một việc tốt giúp đỡ người tàn tật. Tuy việc nhỏ nhưng cũng xoa dịu phần nào nỗi cô đơn buồn bã của bà cụ lúc tuổi già, đúng như lời khuyên của câu tục ngữ: “ thương người như thể thương thân”

Hôm ấy, chiều thứ bảy, em sang nhà ngoại chơi. Khi đi đến gần đồn công an, một sự việc xảy ra làm em chú ý. Ngay trước cổng đồn, một người phụ nữ đang vừa khóc vừa nói gì đó với chú công an. Người phụ nữ khoảng bốn mươi tuổi, ăn mặc giản dị, tay xách một gói đồ. Còn chú công an khoảng hai mươi lăm tuổi. Người phụ nữ vẫn vừa khóc vừa cầu cứu chú công an: - Chú ơi! Chú cứu tôi với. Bây giờ tôi biết làm sao đây! Chú công an ôn tồn nói với người phụ nữ: - Chị cứ bình tĩnh kể đầu đuôi sự việc. Chúng tôi sẽ giúp chị. Người phụ nữ nức nở: - Tôi đưa cháu đi chợ để mua quần áo, sách vở chuẩn bị cho cháu vào năm học mới. Trả tiền xong, quay lại, tôi đã không thấy cháu đâu cả. Tôi tìm mấy vòng quanh nơi mua bán cũng không thấy. Tôi lo quá không biết tính sao. Thế là tôi lại đây. Chú ơi! Chú giúp tôi với! Chú công an hỏi: - Cháu bé là trai hay gái? Cháu mấy tuổi? An mặc thế nào? Người phụ nữ kể cho chú công an nghe. Chú ghi ghi, chép chép ... Đúng lúc đó tôi thấy chị Lan, gần nhà tôi, tay dắt một đứa bé trai khoảng 5 tuổi đến cổng đồn công an. Em bé vừa đi vừa khóc, mồ hôi nhễ nhại. Chị Lan dùng khăn giấy lau cho em và nói với em điều gì đó. Vừa nhìn thấy bé trai, người phụ nữ mừng quýnh: - Oi! Con tôi! Chú công an ơi! Cháu đây rồi! Người phụ nữ ôm chầm lấy con. Có lẽ mừng quá nên mất mục lúc sau người phụ nữ mới quay sang cảm ơn chị Lan rối rít: - Cô cảm ơn cháu nhiều lắm! Nếu không có cháu bây giờ cô không biết sẽ làm sao? Chị Lan nhẹ nhàng đáp: - Dạ, không có gì đâu cô ạ! Cháu sang nhà bạn. Trên đường đi, cháu thấy em đang ngồi bên gốc cây và khóc. Cháu hỏi nhưng em không nhớ số nhà nên cháu không thể đưa em về nhà được. Cháu quyết định đưa em đến đây để nhờ các chú công an giúp đỡ. Người phụ nữ nói tiếp: - Cháu ngoan quá! Cháu tên gì? Cháu học lớp mấy? Chị Lan chỉ cười, rồi xin phép về. Mọi người nhìn chị Lan bằng ánh mắt trìu mến. Riêng tôi, tôi rất yêu quý chị Lan. Chị không chỉ giúp đỡ bà con, cô bác lối xóm mà chị luôn sẵn sàng giúp đỡ tất cả mọi người.