Ta có:\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right).c^2+\left(a^2+b^2\right).d^2\)

\(=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+b^2c^2+2abcd+a^2d^2\)

\(=\left(ac-bd\right)^2+\left(bc+ad\right)^2\) là tổng 2 bình phương

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)\(=\left(a^2c^2+b^2d^2+2abcd\right)+\left(a^2d^2+b^2c^2-2abcd\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

A B C D F E G H K I

a) Gọi I là trung điểm của AB

Trong \(\Delta\)BDC có: E là trung điểm BC; F là trung điểm BD => EF là đường trung bình \(\Delta\)BDC

=> EF // CD hay EF // DH. Xét \(\Delta\)FAE: D là trung điểm AF; DH // EF; H thuộc AE

=> H là trung điểm AE.

Xét \(\Delta\)EAC: G là trung điểm AC; H là trung điểm AE => GH là đường trung bình \(\Delta\)EAC

=> GH // EC hay GH // BC. Xét \(\Delta\)ABC:

G thuộc AC; GH // BC => GH đi qua trung điểm I của AB (1)

Hoàn toàn tương tự: EK đi qua trung điểm I của AB (2)

Từ (1) và (2) => 3 đường AB; GH; EK đồng qui (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)ABG: I là trung điểm AB; K là trung điểm BG (c/m giống câu a)

=> IK là đg trg bình \(\Delta\)ABG

=> IK=1/2.AG. Tương tự: EK=1/2.CG.  Mà AG=CG => IK=EK => K là trg điểm IE

Xét \(\Delta\)AEI: K là trg điểm IE; H là trung điểm AE => KH là đg trg bình \(\Delta\)AEI

=> KH=1/2.AI. Lại có: AI=1/2.AB => KH=1/4.AB hay AB=4.KH (đpcm).

Bạn cm EK đi qua I chỗ nào thế

a)  \(x^2-8x+20=\left(x-4\right)^2+4>0\)

b)  \(4x^2-12x+11=\left(2x-3\right)^2+2>0\)

c)  \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

d)  \(x^2-2x+y^2+4y+6=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+1>0\)

a)  \(a^2-6a+9=\left(a-3\right)^2\)

b)  \(1-4x+4x^2=\left(1-2x\right)^2\)

c)  \(\left(a+b\right)^2-1=\left(a+b-1\right)\left(a+b+1\right)\)

d)  \(4x^2-9=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\)
e)  \(25x^2-20xy+4y^2=\left(5x-2y\right)^2\)

\(15\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)\)

\(=\left(15a+\frac{15}{b}\right)+\left(3b+\frac{3}{a}\right)\)

\(=\left(\frac{15}{b}+3b\right)+\left(15a+\frac{3}{a}\right)\)

Từ đây làm nốt nhé

Ta có: \(a+b+c=2p\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\\p-b=\frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a+c-b}{2}\\p-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\\\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\\\frac{1}{p-c}=\frac{2}{a+b-c}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b}+\frac{2}{a+b-c}=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  ta có:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\left(2\right);\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được:

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

sửa dòng 2

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\\p-b=\frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a+c-b}{2}\\p-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}\end{cases}}\)

a/ \(P=3x\left(4x-11\right)+5x^2\left(x-1\right)-4x\left(3x+9\right)+x\left(5x-5x^2\right)\)

\(P=3x\left(4x-11\right)+5x^2\left(x-1\right)-4x.3\left(x+3\right)+x.5x\left(1-x\right)\)

\(P=3x\left(4x-11\right)-5x^2\left(1-x\right)-12x\left(x+3\right)+5x^2\left(1-x\right)\)

\(P=3x\left[4x-11-4\left(x+3\right)\right]\)

\(P=3x\left(4x-11-4x-12\right)\)

\(P=3x.132\)

\(P=396x\)

b/ Ta có \(\left|x\right|=2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-2\end{cases}}\)

Thay x = 2 vào biểu thức P, ta có: P = 792

Tương tự với x = -2, ta cũng có: P = -792

Vậy \(P=\pm792\)khi \(\left|x\right|=2\)

c/ Để \(P=207\)

<=> \(396x=207\)

<=> \(x=\frac{207}{396}\)

Vậy \(x=\frac{207}{396}\)thì \(P=207\).