Có \(a+b+c=0;\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=0\)

Mà \(a^2;b^2;c^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi a;b;c = 0

Thay vào biểu thức ta có:

\(\left(0-1\right)^{2016}+\left(0-1\right)^{2017}+\left(0-1\right)^{2018}\)

\(=\left(-1\right)^{2016}+\left(-1\right)^{2017}+\left(-1\right)^{2018}\)

\(=1+\left(-1\right)+1\)

\(=1\)

a+b+c=0

<=>(a+b+c)²=0

<=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=0

<=>a²+b²+c²=0

Vì \(a^2\ge0,b^2\ge0,c^2\ge0\)

=>\(a^2+b^2+c^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0

từ đây thay vào

\(N=x^3+y^3+9xy=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+9xy=3^3-3xy.3+9xy=27-9xy+9xy=27\)

\(N=x^3+y^3+9xy\)

\(N=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x-y\right)+9xy\)

\(N=\left(3^3\right)-3xy.3+9xy\)

\(N=27-9xy+9xy\)

\(N=27\)

Vậy N = 27

\(M=\left(x^2+2xy+y^2\right)-4\left(x+y\right)+1=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+1=3^2-4.3+1=9-12+1=-2\)

Ta có:

n² là số chính phương

Mà n khác 0

\(\Rightarrow\)Có 2 trường hợp:

TH1: n là số chẵn

Ví dụ: n = 2

\(\Rightarrow n^2+n+1=2^2+2+1=4+2+1=7\)

Mà 7 không có số nào mũ 2 bằng

\(\Rightarrow n^2+n+1\)là số lẻ và \(n^2+n+1\)không thể là số chính phương

TH2:

n là số lẻ

Ví dụ: n = 3

\(\Rightarrow n^2+n+1=3^2+3+1=9+3+1=13\)

Mà 13 không có số nào mũ 2 bằng cả

\(\Rightarrow n^2+n+1\)là số lẻ và không thể là số chính phương

Qua 2 trường hợp trên, ta kết luận: với n là số tự nhiên khác 0 thì \(n^2+n+1\)là số lẻ và không thể là số chính phương

Gọi 2 số chính phương là a²,b²

Ta có: n=a²+b²

=>\(2n=a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\) (đpcm)

Theo lý thuyết: số chính phương là số có mũ bằng 2

Gọi 2 số chính phương cần tìm là: a² ; b²

Ta có:

n = a² + b²

\(\Rightarrow\)2n = (a²+b²) . 2 = a² + b² + a² + b² = a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² = ( a² + b² ) + ( a² + b² )

Vậy nếu n là tổng của 2 số chính phương thì 2n cũng là tổng của 2 số chính phương

Gọi số lẻ liên tiếp là 2k+1,2k+3 

Ta có: \(\left(2k+1\right)^2+\left(2k+3\right)^2=4k^2+4k+1+4k^2+12k+9=8k^2+16k+10\)

\(=8\left(k^2+2k+1\right)+2=8\left(k+1\right)^2+2\)

Vì: \(8\left(k+1\right)^2⋮2;2⋮2\Rightarrow8\left(k+1\right)^2+2⋮2\left(1\right)\)

Mà \(8\left(k+1\right)^2⋮4,2⋮̸4\Rightarrow8\left(k+1\right)^2+2⋮4̸\) (2)

Từ (1) và (2) => 8(k+1)²+2 không phải là số chính phương

Vậy...

P/s: theo tính chất số chính phương thì nếu số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4