+\(\Delta=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(2m-3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m+12=m^2-6m+13=\left(m-3\right)^2+4>0\)

\(\Delta>0\Rightarrow\text{phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt}\)

+x=3

PT(1) trở thành : \(3^2-\left(m+1\right).3+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow-3m-3+2m+6=0\)

\(\Leftrightarrow-m+3=0\Leftrightarrow m=3\text{ Vậy với x=3 thì m=3}\)

Gọi chữ số đơn vị là x (0 < x < 7)

Chữ số hàng chục là x + 2

Ví số cần tìm lớn hơn tổng các bình phương chữ số của nó là 1 đơn vị nên ta có phương trình :

10(x + 2) + x = (x + 2)² + x² + 1

Giải phương trình trên ta được x = 5 => x + 2 = 7

Số cần tìm là 75

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dung BĐT cô si cho 2 số không âm ta được:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=2\)

Suy ra: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\left(\text{ điều phải chứng minh}\right)\)

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=\left(1+1+1\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng tổng hai phân số nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng 2 ta có :

\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\)

=> ĐPCM

Theo tính chất tia phân giác ta có:  \(\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow\sin C=\frac{3}{5}=\cos B\).

\(\cos B=\frac{3}{5}\Rightarrow B\approx53^07'48,37"\Rightarrow ABD=26^033'54,18"\).

Ta có: \(AB=BD.\cos ABD=6\sqrt{5}.\cos26^033'54,18"=12\).

 AB = 12 => AC = 20 .Aps dụng ĐL Py-ta-go ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25\)

A B D C

P lớn nhất khi và chỉ khi \(\frac{9}{\sqrt{x^2+1}}\)  lớn nhất mà \(\frac{9}{\sqrt{x^2+1}}>0\)   nên   \(\frac{9}{\sqrt{x^2+1}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sqrt{x^2+1}\) nhỏ nhất.

Mà \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)(xảy ra đẳng thức khi x = 0).   \(\Rightarrow P\le1+9=10\). 

Vậy max P = 10 khi và chỉ khi x = 0

Đặt A = \(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\) => \(\frac{1}{A}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge1+2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=3\)

Vậy GTNN của \(\frac{1}{A}=3\)

=> GTLN của A là \(\frac{1}{3}\) tại x = 1 

Điều kiện : x + 1 > 0 <=> x > -1

\(\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}=\frac{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}{\left(1+x\right)-1}=\sqrt{1+x}-1\)=> \(2+\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+x}+1\)

Tiếp tục như vậy ta có: 

\(\frac{x}{2+\frac{x}{2+\frac{x}{2+\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}}}}=\sqrt{1+x}-1\)

PT <=> \(\sqrt{1+x}-1=8\) <=> \(\sqrt{1+x}=9\) <=> 1 + x = 81 <=> x = 80 (Thỏa mãn)

Vậy....

Viết lại dãy số :2¹; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵; 2⁶; 2⁷; ....

=> Số thứ 2190 của dãy số là: 2²¹⁹⁰ 

Ta có:

Quy luật:

Số hạng thứ nhất:2=2¹

Số hạng thứ hai:4=2²

Số hạng thứ ba:8=2³

Số hạng thứ tư:16=2⁴

....

=>Số thứ n:n=2ⁿ

Số thứ 2190 của dãy là:

2²¹⁹⁰=......

Đặt \(\sqrt[3]{7-x}=a;\sqrt[3]{5-x}=b\) ( a + b \(\ne\) 0)

=> a³ + b³ = 12 - 2x = 2(6 - x) ; a³ - b³ = 2

PT <=> \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^3+b^3}{2}\) <=> (a³ + b³)(a+ b) = 2(a - b)

Thế 2 = a³ - b³ ta được: 

(a³ + b³)(a+ b) = (a³ - b³)(a - b)

<=> a⁴ + a³b + ab³ + b⁴ = a⁴ - a³b - ab³ + b⁴

<=>  a³b + ab³  = - a³b - ab³

<=> 2(a³b + ab³) = 0 <=> ab.(a²+ b²) = 0 <=> ab = 0 hoặc a² + b² = 0 

+) ab = 0 => a = 0 hoặc b = 0  

Nếu a = 0 thì b³ = - 2 => \(b=-\sqrt[3]{2}\)

Nếu b = 0 thì a³ = 2 => \(a=\sqrt[3]{2}\)

+) a² + b² = 0  => a = b = 0 => Loại (vì a + b khác 0)

Vậy a = 0 hoặc b = 0 

a = 0 => x = 7

b = 0 => x = 5

Vậy...........