đặt S=2²ⁿ(2²ⁿ⁺¹-1)-1

=>2S=2⁴ⁿ⁺²-2²ⁿ⁺¹-2

=2⁴ⁿ⁺²+2²ⁿ⁺²-1-3.2²ⁿ⁺¹-3

=(2²ⁿ⁺¹+1)²-3(2²ⁿ⁺¹+1)

=(2²ⁿ⁺¹+1)(2²ⁿ⁺¹-2)

=2(2²ⁿ⁺¹+1)(2²ⁿ-1)

4 đồng dư với 1(mod 3)

=>2² đồng dư với 1(mod 3)

=>2²ⁿ đồng dư với 1(mod 3)

=>2²ⁿ⁺¹ đồng dư với 2(mod 3)

=>2²ⁿ⁺¹+1 chia hết cho 3

2²ⁿ-1 chia hết cho 3

=>S=2(2²ⁿ⁺¹+1)(2²ⁿ-1) chia hết cho 9

=>đpcm

giả sử n^2+5n+16⋮169 

⇒4n^2 + 20n + 64 ⋮ 169 

⇒(2n+5)^2 + 39 ⋮ 169 

⇒(2n+5)2^+39⋮13 (1)

 mà 39⋮13

 ⇒(2n+5)^ 2⋮ 169 (2) từ (1) và (2) ta có: 39⋮169 ( vô lí) 

⇒ đpcm 

n= 3

n²= 99

ta có:

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{11}{2}\)khi a=1

bạn ơi tại sao lại là \(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}=\frac{9.2a}{4a}\)

\(x^2+2y^2+3xy+8=9x+10y\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2+12xy+32-36x-40y=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x\left(y-3\right)+\left(8y^2-40y+32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x\left(y-3\right)+9\left(y-3\right)^2-\left(y^2-14y+49\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[2x-3\left(y-3\right)\right]^2-\left(y-7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[2x-3\left(y-3\right)-\left(y-7\right)\right].\left[2x-3\left(y-3\right)+\left(y-7\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+16\right)\left(2x-2y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+8\right)\left(x-y+1\right)=0\)

-TH1:  \(x-2y+8=0\)  \(\Leftrightarrow x=2y-8\)  thay vào pt đề cho tìm được x, y.

Tương tự cho TH2

\(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-2\)

\(=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}-2\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}{\sqrt{2}}-2\)

\(=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}-2\)

\(=\frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}-2\)

\(=\frac{2}{\sqrt{2}}-2\)

\(=\frac{2-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}.\left(\sqrt{2}-2\right)}{\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2}-2\)

.... Đúng thì ủng hộ nha ....

Đặt A= \(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)- \(\sqrt{3-\sqrt{5}}\)- 2

<=>(A+2)^2 = 3+\(\sqrt{5}\)+ 3 - \(\sqrt{5}\)- 2. \(\sqrt{9-5}\)(A+2>0 do \(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)> \(\sqrt{3-\sqrt{5}}\))

= 6 - 4 = 2 

<=> A+2 = \(\sqrt{2}\) ( vì A+ 2>0)

<=> A= \(\sqrt{2}\)- 2

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=7\\x_1x_2=12\end{cases}\Leftrightarrow}x_{1,2}=3;4\)

Hoặc x=3 hoặc x=4