3 - \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{3}{1}\) - \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{3\times7}{1\times7}\) - \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{21}{7}\) - \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{17}{7}\)

\(3-\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{1}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{21}{7}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{17}{7}\)

A = \(\dfrac{6n-3}{3n+1}\) ( đk : 3n + 1 # 0  ⇒ n # -1/3)

A \(\in\) Z ⇔ 6n - 3 ⋮ 3n + 1

           ⇒   6n + 2 - 5 ⋮ 3n + 1

           ⇒   2.( 3n + 1) - 5 ⋮  3n + 1

           ⇒                       5 ⋮ 3n + 1

          ⇒         3n + 1 \(\in\) { -5; -1; 1; 5}

          ⇒        n\(\in\) {-2; -2/3; 0; 4/3}

          vì n \(\in\) Z nên n \(\in\) { -2; 0}

          Vậy n \(\in\) { -2; 0}

(7*3)/7-4/7= 17/7

Lời giải:
$B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{7.8}$

$B< \frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{8-7}{7.8}$

$B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$

$B< 1-\frac{1}{8}$

Mà $1-\frac{1}{8}< 1$ nên $B< 1$ (đpcm)

\(B=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+....+\dfrac{1}{8^2}< 1\)

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}\)

.......

\(\dfrac{1}{8^2}< \dfrac{1}{7\cdot8}\)

\(=>B=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+....+\dfrac{1}{8^2}< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+.....+\dfrac{1}{7\cdot8}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+.....+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}=1-\dfrac{1}{8}< 1\)

\(=>B< 1\)

Lời giải:

$A=\frac{20^{10}-1+2}{20^{10}-1}=1+\frac{2}{20^{10}-1}$

$B=\frac{20^{10}-3+2}{20^{10}-3}=1+\frac{2}{20^{10}-3}$

Vì $20^{10}-1> 20^{10}-3$

$\Rightarrow \frac{2}{20^{10}-1}< \frac{2}{20^{10}-3}$

$\Rightarrow 1+\frac{2}{20^{10}-1}< 1+\frac{2}{20^{10}-3}$

$\Rightarrow A< B$

Gộp 4 mảnh góc vuông thành hình tròn 

Diện tích hình tô màu là 

8 x 8 x  3,14 =  200,96 ( cm² )

Chu vi phần không tô màu chỉnh là chu vi của hình tròn được ghép từ 4 phần đã tô màu 

8x2 x 3,14 = 50,24 ( cm²)

đáp số a, 200,96 cm²

            b. 50,24 cm²

Lời giải:
$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{2^{2023}}$

$2A=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{2^{2022}}$

$2A-A=2-\frac{1}{2^{2023}}$

$A=2-\frac{1}{2^{2023}}$

 Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)

 Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\). 

 Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\).  Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)

Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$

$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$

Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

HD: Quãng đường = vận tốc x thời gian

Đổi: 15 phút = 0,25 (giờ)

1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Tình quãng đường đi bộ + Quãng đường đi ô tô

Lời giải:
$M\times 6-N=12,8$

$M-N = 1,8$

Trừ hai phép tính theo vế ta có:
$(M\times 6-N) -(M-N) = 12,8-1,8$

$M\times 6-M = 11$

$M\times 5=11$

$M=11:5=2,2$

$N=M-1,8=2,2-1,8=0,4$