Xét dãy số (u_n), n=1,2,... như sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2004\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\ln\left(1+u_n^2\right)-2005\end{matrix}\right.\)

Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n\).

Cho phương trình \(x^n +x^{n-1}+...+x-1=0\).

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm dương duy nhất x_n. Tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)

CMR: với mỗi số nguyên dương n, phương trình \(\cos x=x^n\) có duy nhất 1 nghiệm trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

Gọi nghiệm đó là u_n. Hãy tìm giới hạn \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n\).

\(2\sqrt{3}\sin x+3\sqrt{3}\tan x=2\cos x+3\)

Cho phương trình \(x^n-nx+1=0\). Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm \(\alpha_n,\beta_n\)sao cho \(0< \alpha_n< 1< \beta_n\). Tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\) và \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\)

Xét dãy (u_n) được xác định như sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_0=1\\u_n=\dfrac{-1}{3+u_{n-1}}\end{matrix}\right.\), với n=1,2,...

Chứng minh rằng dãy (u_n) có giới hạn và hãy tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n\)

Giải phương trình:

     \(2sin^22x.cos6x+sin^23x=\dfrac{1}{2}sin\dfrac{11x}{2}sin\dfrac{9x}{2}\)