\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=\left(a-b+b-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\right]+\left(c-a\right)^3\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\right]-\left(a-c\right)^3\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2-\left(a-c\right)^2\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-b-b+c\right)+\left(b-c+a-c\right)\left(b-c-a+c\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-2b+c\right)+\left(a+b-2c\right)\left(b-a\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-2b+c\right)-\left(a+b-2c\right)\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a-2b+c-a-b+2c\right)\)

\(=-\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(-3b+3c\right)\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)

Vì a > b > c nên a - b > 0 ; b - c > 0 ; c - a < 0

Do đó \(3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)< 0\) hay \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3< 0\) (đpcm)

\(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=a^3-3ab\left(a+b\right)+b^3+b^3-3bc\left(b+c\right)+c^3+c^3-3ca\left(c+a\right)+a^3\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(⋮3\)

Lấy  \(a,b,c\)lần lượt chia cho \(2\)ta được tối đa 2 số dư là:  \(0;1\)Do đó tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2

\(\Rightarrow\)hiệu của chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A⋮2\)

mà  \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(A⋮6\)

các câu còn lại lm tương tự nhé ^^

a,\(A=x^2-x-1\)

\(=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)

Vì:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\forall x\)

Hay:\(A\ge0\forall x\)

Dấu = xảy ra khi:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy Min A=-5/4 tại x=1/2

Hai phần cn lại lm tg  tự nha bn

Ta có: \(B=\frac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}=\frac{x^4+2x^2+1-2x^2-2+2}{x^4+2x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2-2\left(x^2+1\right)+2}{\left(x^2+1\right)^2}=1-\frac{2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=1+2\left[\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}-2\cdot\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right]\)

\(=1+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\)

Vì \(2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow B=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2+1=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

Vậy \(Bmin=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm1\)

Gọi vận tốc xe đi từ A là x(km/h)(x>0)

->Vận tốc xe đi từ B là: x-10(km/h)

Sau 2h:

Quãng đg xe đi từ A đi đc là: 2x(km)

''...........................''B'...........': 2(x-10)(km)

Mà AB=180km nên ta có phương trình:

          2x+2(x-10)=180

<=>2x+2x-20=180

<=>4x=200

<=>x=50

Vận tốc xe đi từ A là:50km/h

Vận tốc xe đi  từ B là:50-10=40(km/h)

Gọi vận tốc xe đi từ A là x (km/h) (x>10)

Thì vận tốc xe đi từ B là x-10(km/h) 

Quãng đường xe đi từ A đi là : 2x (km)

Quãng đưỡng xe đi từ B đi là: 2(x-10) (km)

Ta có phương trình : 2x+2(x-10)=180 => x=50 

Vậy vận tốc xe đi từ A là 50km/h 

Vận tốc xe đi từ B là 50-10=40(km/h)

P=\(\frac{x-4}{x+4}\) ĐKXĐ: X\(\ne\) -4

P=\(\frac{x+4-8}{x+4}=1-\frac{8}{x+4}\)

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{x-4}{x+4}\)hay \(1-\frac{8}{x+4}\)

phải nhận giá trị nguyên.

\(\Rightarrow\left(x+4\right)\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)

Ta có bảng sau:

 Vậy để P nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{-3;-2;0;4;-12;-8;-6;-5\right\}\)