\(\left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4\ge0\Leftrightarrow x+4\ge4\sqrt{x}\Leftrightarrow x+16\ge4\sqrt{x}+12=4\left(\sqrt{x}+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}\ge4\Leftrightarrow P\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x=4\) 

Vậy \(Min_P=4\) khi \(x=4\)

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=2\left(4x+y\right)\\x^2-3y^2=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^3-3y^3=6\left(4x+y\right)\left(1\right)\\x^2-2y^2=6\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (2) và (1), ta được: \(3x^3-3y^3=\left(x^2-2y^2\right)\left(4x+y\right)\Leftrightarrow x^3+x^2y-12xy^2=0\)(*)

- Xét x = 0 thì ta dễ thấy không thỏa mãn

- Xét \(x\ne0\)ta chia cả hai vế của phương trình (*) cho x³, ta được\(1+\left(\frac{y}{x}\right)-12\left(\frac{y}{x}\right)^2=0\)

Đặt \(\frac{y}{x}=s\), ta được: \(-12s^2+s+1=0\Leftrightarrow\left(1-3s\right)\left(4s+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{1}{3}\\s=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\x=-4y\end{cases}}\)

Với x = 3y thay vào (2), ta được: \(9y^2-3y^2=6\Leftrightarrow6y^2=6\Leftrightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm3\)

Với x = -4y thay vào (2) ta được:\(16y^2-3y^2=6\Leftrightarrow13y^2=6\Leftrightarrow y=\pm\sqrt{\frac{6}{13}}\Rightarrow x=\mp\sqrt{\frac{96}{13}}\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{\left(1;3\right);\left(-1;-3\right);\left(\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{96}{13}}\right);\left(-\sqrt{\frac{3}{16}};\sqrt{\frac{96}{13}}\right)\right\}\)

Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có

\(6\left(x^3+y^3\right)=\left(8x+2y\right)\left(x^2+3y^2\right)\) đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc 3, Từ đó ta giải như sau

Vì x=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=tx khi đó hệ trở thành

\(\hept{\begin{cases}x^3-8x=t^3x^3+2tx\\x^2-3=3\left(t^2x^2+1\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-t^3\right)=2t+8\\x^2\left(1-3t^2\right)=6\end{cases}}\Rightarrow\frac{1-t^3}{1-3t^2}=\frac{t+4}{3}}\)

\(\Leftrightarrow3\left(1-t^3\right)=\left(t+4\right)\left(1-3t^2\right)\Leftrightarrow12t^2-t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1}{3}\\t=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

* \(t=\frac{1}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-3t^2\right)=6\\y=\frac{x}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm3\\y=\pm1\end{cases}}}\)

*\(t=-\frac{1}{4}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{4\sqrt{78}}{13}\\y=\mp\frac{\sqrt{78}}{13}\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(-3;-1\right);\left(\frac{4\sqrt{78}}{13};\frac{\sqrt{78}}{13}\right);\left(-\frac{4\sqrt{78}}{13};-\frac{\sqrt{78}}{13}\right)\right\}\)

áp dụng \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\)

Ừ rồi sao nữa? Phân thành các trường hợp à =)))

nhầm đề : \(\sqrt[4]{x+8}+\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x}\)

\(\sqrt[4]{x+8}+\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{x+8}-\sqrt{3}+\sqrt{x+4}-\sqrt{5}=\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}+\sqrt{3x}-\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+8-9}{\sqrt[4]{x+8}^3+\sqrt[4]{x+8}^2\sqrt{3}+3\sqrt[4]{x+8}+\sqrt{3}^3}+\frac{x+4-5}{\sqrt{x+4}+\sqrt{5}}=\frac{2x+3-5}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}+\frac{3x-3}{\sqrt{3x}+\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt[4]{x+8}^3+\sqrt[4]{x+8}^2\sqrt{3}+3\sqrt[4]{x+8}+\sqrt{3}^3}+\frac{x-1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{5}}-\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}-\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt{3x}+\sqrt{3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x+8}^3+\sqrt[4]{x+8}^2\sqrt{3}+3\sqrt[4]{x+8}+\sqrt{3}^3}+\frac{1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}-\frac{31}{\sqrt{3x}+\sqrt{3}}\right)=0\)

Dễ thấy : pt trong ngoặc vô nghiệm

\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

bình 2 vế \(\frac{x-2}{2018}=\frac{x-2018}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{2018}-1=\frac{x-2018}{2}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2020}{2018}-\frac{x-2020}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2020\right)\left(\frac{1}{2018}-\frac{1}{2}\right)=0\)

Thấy: \(\frac{1}{2018}-\frac{1}{2}\ne0\Rightarrow x=2020\)

Bình phương 2 vế

(X-2)/2018 = (X-2018)/2

   (X-2)×2=(X-2018)×2018

X= 2020

Căn bậc 2 của (x-1)^2 = x-1 hoặc 1-x

Trường hợp 1: x-1 >=0 => x>=1

 Thì    x-1+x =2x-1 >=1 (1)

Trường hợp 2 :1-x >=0  => x <=1

   Thì    1-x +x = 1 (2)

   (1) VÀ (2) => ĐPCM

\(\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(5-x\right)=2x\)

ĐK: \(x\ge-1\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=\frac{2x}{5-x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-2=\frac{2x}{5-x}-3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1-4}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{5x-15}{5-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{5\left(x-3\right)}{5-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{5}{5-x}\right)=0\)

Dễ thấy: \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{5}{5-x}=0\) vô nghiệm

\(\Rightarrow x-3=0\Rightarrow x=3\)

Ta có:

\(\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(5-x\right)=2x\)

\(\Leftrightarrow\left(5-x\right)\sqrt{x+1}+5-3x=0\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}5-x=a\\\sqrt{x+1}=b\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab+3a=10\\a+b^2=6\end{cases}}\)​​

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(6-b^2\right)b+3\left(6-b^2\right)=10\\a=6-b^2\end{cases}}\)

​​\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2-b\right)\left(b+1\right)\left(b+4\right)=0\\a=6-b^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\a=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=3\)