A B C G M N E F d I

Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F

Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC

Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)

Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)

\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)

\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.

1

Nhãn

a) ĐKXĐ: \(x\ne9\)

\(P=\frac{x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-12-2\left(\sqrt{x}-3\right)^2-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-12-2x+12\sqrt{x}-18-x-5\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{x\sqrt{x}-3x+12\sqrt{x}-36}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x+12\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\frac{x+12}{\sqrt{x}+2}\)

b) Ta có: \(P=\frac{x+12}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-4+16}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\frac{16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\left(\sqrt{x}+2\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+2}-4\)

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right).\frac{16}{\sqrt{x}+2}}-4=4\)

P = 4 thì \(\left(\sqrt{x}+2\right)^2=16\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4\)

Vậy GTNN của P là 4 khi x = 4.

ĐK: \(x\ge1\)

Ta thấy do \(x\ge1\Rightarrow\sqrt{x}\ge1\)

\(\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\ge\sqrt{x}\ge1\)

\(\Rightarrow VT\ge2>1\)

Vậy không có giá trị của x thỏa mãn phương trình trên.

\(3\sqrt{x}-1=1\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=2\)(dk \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)

\(\)

\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)

\(\Rightarrow3\left(x-3\right)^2\le33\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left\{0;1;4;9\right\}\)

Thế lần lược vô giải tiếp sẽ ra

Áp dụng với 6y^2 thì còn ngắn hơn nữa

M B C D A H K

Kẻ BH và DK cùng vuông góc với AI.

Ta có  \(\widehat{HIB}=\widehat{KAD}\)  (so le trong) nên \(\Delta HIB\sim\Delta KAD\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{DK}=\frac{BI}{AD}=\frac{BI}{BC}=\frac{1}{2}\)

Lại có: \(S_{ABM}=\frac{1}{2}.m.BH\Rightarrow BH=\frac{2b}{m}\)

Tương tự \(DK=\frac{2d}{m}\)

Suy ra d = 2b hay \(d^2=4b^2.\).

Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a thì BI = a/2.

Xét tam giác vuông ABI, đường cao BH ta có: \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BI^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{2b}{m}\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{m^2}{4b^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow a^2=\frac{4.5b^2}{m^2}=\frac{4}{m^2}\left(4b^2+b^2\right)=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right)\)

Vậy \(S_{ABCD}=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right).\)

\(x^2+y^2=x+y+8\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x+1+4y^2-4y+1=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34\)

Đơn giản rồi nhé

Em có cách này tuy nhiên không chắc.

Viết lại phương trình với x là ẩn:

\(x^2-x+\left(y^2-y-8\right)=0\)  (1)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left(y^2-y-8\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4y^2+4y+33\ge0\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{34}}{2}\le y\le\frac{1+\sqrt{34}}{2}\)

Mà \(y\inℕ\Rightarrow0\le y\le3\)

....

Từ A dựng đường cao AH, M dựng đường cao MD ( H, D thuộc BC ) 

\(\left(S_{MAB};S_{MBC};S_{MAC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)

\(\Delta HAA_1\) có \(AH//MD\left(\perp BC\right)\) áp dụng Ta-let \(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}=\frac{AH}{MD}=\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{1}{2}MD.BC}=\frac{S_{ABC}}{S_2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}-1=\frac{MA}{MA_1}=\frac{S_{ABC}}{S_2}-1=\frac{S_1+S_3}{S_2}\)

Tương tự( dựng các đường cao hạ từ B, M và C, M ) ta cũng có: \(\frac{MB}{MB_1}=\frac{S_1+S_2}{S_3};\frac{MC}{MC_3}=\frac{S_2+S_3}{S_1}\)

Do đó: \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1S_2S_3}\)

\(\ge\frac{2\sqrt{S_1S_2}.2\sqrt{S_2S_3}.2\sqrt{S_3S_1}}{S_1S_2S_3}=\frac{8\sqrt{\left(S_1S_2S_3\right)^2}}{S_1S_2S_3}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC là tam giác đều và có 3 đường trung trực đồng quy tại M