\(i< 3u\)

minh de0 can ban dang lai cau hoi cua minh dau :)

Chào bạn, hãy theo dõi lời giải của mình nhé!

\(VT=\sqrt{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+3b^2\right)\left(b^2+3c^2\right)}}\)

\(\ge\sqrt{4\left(a+b+c\right)^2}=2\left(a+b+c\right)\) (Bunhia)

ez to prove\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^4}{3}\ge27\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Thay vào và hoàn tất chứng minh.

P/s: Bài trên có ngược dấu đấy kkk

Hãy tích cho tui đi

Nếu bạn tích tui

Tui không tích lại đâu

THANKS

\(2=\sqrt{4}>\sqrt{3}\)

\(6=\sqrt{36}< \sqrt{41}\)

\(7=\sqrt{49}>\sqrt{47}\)

\(M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\)

\(\ge\frac{3^2}{1+3}=\frac{9}{4}\)

=>MinM=9/4 khi a=b=c=1/3

sai rồi

Áp dụng BĐT AM-GM với a;b;c > 0: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{1}{27}\)(Vì a+b+c=1)

Với a+b; b+c; c+a > 0 (Do a,b,c > 0): \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{8}{27}\)

\(\Rightarrow M=abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}\)

Vậy Max \(M=\frac{8}{729}\). Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b=b+c=c+a\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}.\)

ĐK: \(x^3+4x^2+5x+6\ge0\)

Ta có: \(x^3+4x^2+5x+6=\left(x+3\right)\left(x^2+x+2\right);x^2+2x+5=\left(x+3\right)+\left(x^2+x+2\right)\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=u\\\sqrt{x^2+x+2}=v\end{cases}}\)

Vậy nên ta có phương trình: \(\)\(u^2+v^2=\frac{5}{2}uv\)

\(\Leftrightarrow2u^2-5uv+2v^2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2v\\u=\frac{1}{2}v\end{cases}}\)

Với u = 2v ta có: \(\sqrt{x+3}=2\sqrt{x^2+x+2}\Leftrightarrow x+3=4x^2+4x+8\)

\(\Leftrightarrow4x^2+3x+5=0\)   (Vô nghiệm)

Với \(u=\frac{1}{2}v\) ta có: \(2\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+x+2}\Leftrightarrow4x+12=x^2+x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-10=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=-2\end{cases}}\left(tmđk\right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x\in\left\{5;-2\right\}\)