\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{25}{2}\) 

tại a=b=¹/₂

thêm ít cách

Cách 1:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được: 

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)

\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 2: 

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)

\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)

\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)

\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)

\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1) 

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)

Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được: 

\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 3:Làm tắt thui ạ

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)

giống cách 2 rồi làm nốt

A B C D G H F E K O

Gọi K là giao điểm của AB và EF 

O là giao điểm của AC và BD => OB = OD vì ABCD là hình chữ nhật

Ta có: EK // OB => \(\frac{EK}{OB}=\frac{AE}{AO}\)

          EF//OD => \(\frac{EF}{OD}=\frac{AE}{AO}\)

=> \(\frac{EK}{OB}=\frac{EF}{OD}\) mà OD = OB 

=> EK = EF mặt khác EH = EB ( H đối xứng với B qua E )

=> KBFH là hình bình hành 

=> KB //=HF  ( 1)

Ta lại có: KB //GD ( vì G thuộc DC ; AB //DC ; ABCD là hình chữ nhật )

và GK // BD ( giả thiết )

=> GKBD là hình bình hành

=> KB // = GD ( 2)

Từ ( 1) và (2) => HF // = GD 

=> HFDG là hình bình hành có: ^FDG = 90 độ ( kề bù ^ADC = 90 độ )

=> HFDG là hình chữ nhật 

=> HD = FG ( hai đường chéo bằng nhau)

Câu thơ đã sử dụng biện pháp ẩn dụ một cách khéo léo.

- Nó bày tỏ niềm uất hận, bế tắc khi chưa ra khỏi chốn lao tù:

+ Nhưng tiếng chim tu hú ở cuối bài thơ lại khiến cho người tù cảm thấy ngột ngạt, bực bội, khó chịu và khó chấp nhận, chìm đắm vào sự đau khổ vì chưa thể thoát ra khỏi cảnh tù đày, giam cầm “chết uất thôi”.

+ Bên ngoài tiếng tu hú vẫn không ngừng vang lên, niềm uất hận trong lòng tác giả vẫn cứ thế kéo dài.

Gọi x là số lần tăng lên của vi khuẩn sau 30 phút

Ban đầu chỉ có 50 con => Sau 30 phút: 50x con

=> Sau 1 h : 50x² con . => Sau 1h 30 p : 50x³ con 

=> Sau 2h: 50x⁴ con 

..... 

=> Sau 24h : 50x⁴⁸  con 

Theo bài ra : Sau 2h vi khuẩn là 4050 con

Do đó ta có pt: 50x⁴= 4050 <=> x = 3

Vậy sau 1 ngày ( = 24 h ) số vi khuẩn sẽ là: 50.x⁴⁸ = 50.3⁴⁸ con