Đề chuyên Toán - Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2021-2022

Cho tam giác ABC nhọn và cố định, nội tiếp đường tròn tâm O. điểm P là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) (P không trùng với A và B). Đường thẳng qua P vuông góc OA và cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm Q và R; đường thẳng qua P vuông góc với OB và cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại các điểm S và T.

a) Chứng minh tam giác PQS là tam giác cân

b) Giả sử tam giác ABC cân tại C, gọi giao điểm của hai đường thẳng AB và PC là M. Chứng minh rằng hai tam giác CPA và CAM đồng dạng và khi P thay đổi trên cung nhỏ AB thì tỉ số PC/(PA+PB) có giá trị không đổi.

c) Tìm vị trí của điểm P trên cung nhỏ AB để tích QR.ST đạt giá trị lớn nhất.

 Trong chiến dịch Điện Biên Phủ trên không, một máy bay B-52 của Mỹ được tính toán là có thể xuất hiện trên bầu trời Hà Nội với xác suất \(\dfrac{2}{3}\) và ở Bắc Giang với xác suất \(\dfrac{1}{3}\). Quân ta có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo phòng không để bắn rơi máy bay này như sau:

 Phương án 1: 3 khẩu đặt tại Hà Nội, 1 khẩu đặt tại Bắc Giang.

 Phương án 2: 2 khẩu đặt tại Hà Nội, 2 khẩu đặt tại Bắc Giang.

 Phương án 3: 1 khẩu đặt tại Hà Nội, 3 khẩu đặt tại Bắc Giang.

 Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy giúp quân ta chọn phương án tốt nhất.