uhm, bài hay đấy, có thể quay vào toán bất đẳng thức vẽ trên geogebra không?

Vai trò a,b không đổi ta giả sử a > b

Ta có : |ab + 1| > |a - b|

=> |ab + 1|² > |a - b|² 

<=> (ab)² + 2ab + 1 > a² + b² - 2ab

<=> (ab)² - a² - b² + 1 + 4ab > 0

<=> (a² - 1)(b² - 1) + 4ab > 0 (1)

Nếu a \(\ge\) b \(\ge\)1 hay -1 \(\ge\) a \(\ge\) b thì (1) luôn đúng

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1 và ab \(\ge\) 0 thì

(a² - 1)(b² - 1) > 0 ; ab > 0 => (1) luôn đúng 

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1và ab \(\le\) 0  (2)

Khi đó nếu trong 5 số thực đó chỉ có số không âm

=> (2) không xảy ra => (1) luôn đúng 

Nếu dãy trên tồn tại ít nhất một số thực a < 0 hay nhiều hơn 

thì (1) luôn đúng do khi đó luôn tồn tại ít nhất cặp số ab > 0  và (2) không xảy ra 

=> ĐPCM 

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2+4mx+5m-3=0\)

\(\Delta'=4m^2-5m+3>0;\forall m\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M+x_N=-4m\\x_M.x_N=5m-3\end{matrix}\right.\)

\(MN=\sqrt{\left(x_M-x_N\right)^2+\left(y_M-y_N\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_M+x_N\right)^2-4x_Mx_N+\left(3-3\right)^2}\)

\(=\sqrt{16m^2-4\left(5m-3\right)}=\sqrt{16m^2-20m+12}=\sqrt{130}\)

\(\Rightarrow16m^2-20m-118=0\)

Theo hệ thức Viet: \(a+b=-\dfrac{-20}{16}=\dfrac{5}{4}\)

Pt hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(x^2-8x=x-m\Leftrightarrow x^2-9x+m=0\)

\(\Delta=81-4m\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{81}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=9\\ab=m\end{matrix}\right.\)

\(a^3+b^3=675\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=675\)

\(\Leftrightarrow9^3-27m=675\)

\(\Rightarrow m=2\)

Pt hoành độ giao điểm (d) và (P):

x\(^2\)
−8x=x−m⇔x\(^2\)
−9x+m=0

Δ=81−4m≥0⇒m≤\(\dfrac{81}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \left\{{}\begin{matrix}a+b=9\\ab=m\end{matrix}\right.\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=9\\ab=m\end{matrix}\right.\)
 

a
\(^3\)+b
\(^3\)=675⇔(a+b)\(^3\)
−3ab(a+b)=675

\Leftrightarrow9^3-27m=675⇔9
\(^3\)−27m=675

$\Rightarrow m=2$