ta có bđt cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)

Áp dụng bđt bu nhi ta có 

\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)

mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)

cho đường tròn tam O nội tiếp tam giác ABC (AB<AC) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại D,E,F.Đườn tròn tâm O' bàng tiếp trong góc BAC của tam giác  ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh AB,AC tương ứng tại các điểm P,M,N.

a)chứng minh BP=CD

b)trên đường thawngrMN lấy các điển I,K sao cho CK//AB,BI//AC. chứng minh các tứ giác BICE,BKCF là hình thang cân

c)gọi (S) là đường tròn đi qua ba điểm I,K,P.chứng minh(S) tiếp xúc với các đường thẳng BC,BI,CK

cho \(\Delta\)ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi D,E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB và AC

a, chứng minh \(\Delta ADE\)đồng dạng \(\Delta ACB\)

b, tính diện tích \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADE\)biết AC= 6 cm, \(\widehat{ACB}\)=30

c, chứng minh \(\frac{AB^3}{^{AC^3}}\)=\(\frac{BD}{EC}\)