a)

b)Từ \(xyz=1\Rightarrow x=\frac{1}{zy};y=\frac{1}{xz};z=\frac{1}{xy}\)

\(M=\frac{z^2y^2}{x\left(z+y\right)}+\frac{x^2z^2}{y\left(x+z\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\)(Bđt Cauchy-Schwarz)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)(Bđt Cosi)

Dấu = khi \(x=y=z=1\)

a) Gọi 5 số là: \(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\)

Lấy \(T_0=a_0\)

      \(T_1=a_0+a_1\)

     \(T_2=a_0+a_1+a_2\)

    \(T_3=a_0+a_1+a_2+a_3\)

    \(T_4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\)

Trong 5 số: \(T_0,T_1,T_2,T_3,T_4\) có 2 trường hợp sau xảy ra:

TH1: Tồn tại 1 số \(T_i\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh

TH2: Không có số nào chia hết cho 5 => Trong 5 số đó có 2 số khi chia cho 5 có cùng một số dư (theo nguyên lí Direchlet, vì 5 số đều không chia hết cho 5 nên khi chia cho 5 sẽ cho 4 số dư là {1, 2, 3,4}). Giả sử \(T_i\) và \(T_j\)(với i < j) chia cho 5 có cùng số dư => Hiệu \(T_j-T_i\) chia hết cho 5. Mà hiệu \(T_j-T_i=a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_j\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh.

ta có : x1<x2 suy ra 3x1<3x2 suy ra f(x1)<f(x2)

Suy ra y=f(x)=3x đồng biến trên R

\(\sqrt{64}=8\)                                              \(\sqrt{25}=5\)

\(\sqrt{9}=3\)                                                   \(\sqrt{36}=6\)

\(\sqrt{16}=4\)                                                 \(\sqrt{81}=9\)

\(\sqrt{64}=8\)                                  \(\sqrt{25}=5\)

   \(\sqrt{9}=3\)                                \(\sqrt{36}=6\)

 \(\sqrt{16}=4\)                                \(\sqrt{81}=9\)

???ng tr�n c: ???ng tr�n qua B v?i t�m O ?o?n th?ng f: ?o?n th?ng [A, B] ?o?n th?ng g: ?o?n th?ng [C, D] ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [C, A] ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [C, H] ?o?n th?ng j: ?o?n th?ng [A, D] ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [H, D] ?o?n th?ng l: ?o?n th?ng [C, B] ?o?n th?ng n: ?o?n th?ng [H, E] ?o?n th?ng p: ?o?n th?ng [E, K] ?o?n th?ng q: ?o?n th?ng [E, I] A = (-7.03, -1.84) A = (-7.03, -1.84) A = (-7.03, -1.84) B = (8.14, -2.02) B = (8.14, -2.02) B = (8.14, -2.02) ?i?m O: Trung ?i?m c?a f ?i?m O: Trung ?i?m c?a f ?i?m O: Trung ?i?m c?a f ?i?m I: ?i?m tr�n f ?i?m I: ?i?m tr�n f ?i?m I: ?i?m tr�n f ?i?m C: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m C: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m C: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m D: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m D: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m D: Giao ?i?m c?a c, C_1 ?i?m H: A ??i x?ng qua I ?i?m H: A ??i x?ng qua I ?i?m H: A ??i x?ng qua I ?i?m E: Giao ?i?m c?a m, l ?i?m E: Giao ?i?m c?a m, l ?i?m E: Giao ?i?m c?a m, l ?i?m K: Trung ?i?m c?a H, B ?i?m K: Trung ?i?m c?a H, B ?i?m K: Trung ?i?m c?a H, B

a. Tứ giác ACHD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành. Lại có \(CD\perp AH\) nên đây là hình thoi.

b. Ta thấy \(AC\perp CB;HE\perp CB\) mà DH // AC nên \(DH\perp BC\) hay D, H ,E thẳng hàng. Vậy các hình thang trong hình vẽ trên là: ACDE; ACHD; EHAC.

c. Do tam giác EDC vuông tại E nên IE =ID =IC hay \(\widehat{IEH}=\widehat{IDE}\) . Mà \(\widehat{IDE}=\widehat{CBH}\)(Cùng phụ với \(\widehat{ICB}\) ) nên \(\widehat{IEH}=\widehat{CBH}\)

Lại có tam giác EHB cũng vuông tại E nên KB = KE hay \(\widehat{CBH}=\widehat{BEK}\)

Vậy thì \(\widehat{IEH}=\widehat{BEK}\). Từ đó suy ra \(\widehat{IEK}=\widehat{IEH}+\widehat{HEK}=\widehat{BEK}+\widehat{HEK}=\widehat{HEB}=90^o\)

Vậy \(IE\perp EK\left(đpcm\right)\)

Từ O₁ kẻ O₁H vuông góc với O₂C tại H. Vì R₂ > R₁ nên ta được O₁BCH là hình chữ nhật

và : O₂H = R₂ - R₁ = 2 

\(cos\widehat{O_1O_2H}=\frac{O_2H}{O_1O_2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow\widehat{O_1O_2H}=\alpha\)(Bạn bấm máy tính để tìm giá trị góc này, còn mình đặt là \(\alpha\)cho dễ nhìn)

\(\Rightarrow\widehat{BO_1O_2}=180^o-\alpha\)(BO₁ // CO₂)

\(AB=\sqrt{2R^2_1-2R_1^2.cos\left(180^o-\alpha\right)}=m\)

\(AC=\sqrt{2R_2^2-2R_2^2.cos\alpha}=n\)

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích hình quạt \(O_1AB\) và \(O_2AC\) thì ta có : 

\(S_1=\frac{\pi.R_1^2.\left(180^o-\alpha\right)}{360^o}\) ; \(S_2=\frac{\pi.R_2^2.\alpha}{360^o}\)

\(S_{\Delta O_1AB}=\frac{1}{2}.R_1^2.sin\left(90^o-\alpha\right)\); \(S_{\Delta O_2AC}=\frac{1}{2}R_2^2.sin\alpha\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AB là : \(S'=S_1-S_{\Delta O_1AB}=x\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AC là : \(S''=S_2-S_{\Delta O_2AC}=y\)

Diện tích tam giác ABC nằm ngoài cả hai đường tròn đã cho là : 

\(S_{ABC}-S'-S''=\frac{1}{2}m.n-x-y\)

HÌNH VẼ ĐÂY :

O1 O2 H B C A

Thay lần lượt các giá trị của P(1) , P(-1) , P(2) , P(-2) , P(3) , P(-3) , P(4) vào thì ta được hệ 7 phương trình 7 ẩn

Liệt kê các phương trình ra cộng theo vế để triệt tiêu ẩn , đưa chúng về hệ phương trình 3 ẩn hoặc 2 ẩn đề giải :)

Hệ 7 ẩn nên khó giải