R B O C M A E

a) Bán kính OA vuông góc với BC nên MB = MC.

Lại có MO = MA ( gt ) 

Suy ra tứ giác OBAC là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại có: OA \(\perp\) BC nên OBAC là hình thoi.

b) Ta có: OA = OB (bán kính)

    OB = BA (tính chất hình thoi).

Nên OA = OB = BA =>  \(\Delta AOB\)đều => ∠AOB = 60^o

Trong tam giác OBE vuông tại B ta có:

BE = OB . tg∠AOB = OB . tg60^o = \(R.\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(P=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\frac{9}{3+12}=\frac{3}{5}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}}\)

\(\ge\frac{3}{\frac{\left(3+ab+bc+ca\right)}{3}}=\frac{9}{3+ab+bc+ca}\)

Ta có BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (đúng)

Áp dụng vào,ta có: \(P\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\frac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)

C1 : *Xét m < 0 thì m + |m| = m - m = 0

                              m|m| = -|m²| < 0

         Nên m + |m| > m|m|

       *Xét m = 0 thì m + |m| = m|m| (=0)

       *Xét 0 < m < 2 thì m + |m| = 2m

                                   m|m| = m² 

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) < 0 V 0 < m < 2

Nên m + |m| > m|m| 

     *Xét m > 2 thì m + |m| = 2m

                            m|m| = m²

Xét hiệu m² - 2m = m(m - 2) > 0 V m > 2

Nên m + |m| < m|m|

C2, Gọi BCNN(1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2002) = a

2002 số liên tiếp cần xét là : a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 ; ... ; a + 2001

Trong 2002 số này thì  a \(⋮\)1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2001

=> a ; a + 1 ; ... ; a + 2001 là hợp số 

=> có 2002 số tự nhiên liên tiếp là hợp số

Lời giải:

Đặt $\left(\frac{xy}{z};\frac{yz}{x};\frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{array}$

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=1$

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: $(a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c{)}^2}\ge \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}$

Vậy $S_{min}=\sqrt{3}\iff a=b=c=\frac{1}{3}\iff x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bạn bôi xanh câu hỏi của bạn rồi kéo thả lên chỗ tìm kiếm ; tìm 

Tìm GTNN của S=xy/z+yz/x+zx/y biết x^2+y^2+z^2=1 - H7.net

 OK !

a, Vì 1 < x₁ < x₂ < 6 nên pt đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt

Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(2m-3\right)^2-4m^2+12m>0\\2m-3>0\\m^2-3m>0\end{cases}}\)

                              \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4m^2-12m+9-4m^2+12m>0\\m>\frac{3}{2}\\m< 0\left(h\right)m>3\end{cases}}\)

                               \(\Leftrightarrow m>3\)

Có \(\Delta=9>0\)

Nên pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=\frac{2m-3-3}{2}=m-3\)

                                                \(x_2=\frac{2m-3+3}{2}=m\)                        (Do m - 3 < m nên x₁  < x₂ thỏa mãn đề bài)

Vì \(1< x_1< x_2< 6\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-3>1\\m< 6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow4< m< 6\)(Thỏa mãn)

c, C1_) Có \(x_1^2+x_2^2=\left(m-3\right)^2+m^2\)

                        \(=m^2-6m+9+m^2\)

                         \(=2m^2-6m+9\)

                         \(=2\left(m^2-3m+\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}\)

                        \(=2\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)

C2_) Theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=m^2-3m\end{cases}}\)

Có : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

                     \(=\left(2m-3\right)^2-2m^2+6m\)

                     \(=4m^2-12m+9-2m^2+6m\)

                     \(=2m^2-6m+9\)

                       \(=2\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" khi \(m=\frac{3}{2}\)