vì n là số lẻ nên ta đặt n = 2a+1 (với a E N)

n³-n = (2a+1)³-(2a+1) = 8a³+12a²+ 6a+1-2a-1 = 8a³+12a²+4a = 2a (4a²+6a +2) = 4a(a+1)(2a+1) = 2a.(2a+1).(2a+2)

Vì n³-n = 4a(a+1)(2a+1) chia hết cho 4.   

 +) Nếu a chẵn thì a chia hết cho 2 => n³-n = 4a(a+1)(2a+1)  chia hết cho 2.4 =  8

+) Nếu a lẻ thì a+1 chẵn chia hết cho 2 => n³-n = 4a(a+1)(2a+1)  chia hết cho 2.4 =  8

Vậy n³-n = 4a(a+1)(2a+1) chia hết cho 8   

mặt khác n³-n  = 2a.(2a+1).(2a+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Vậy n³-n  chia hết cho 3.8 = 24 (vì 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau )

Lưu ý: nếu A chia hết cho 2, chia hết cho 4 , chia hết cho 3 mà kết luận A chia hết cho 2.3.4 = 24 là sai vì 2, 4 không phải là 2 số nguyên tố cùng nhau. ví dụ 12 chia hết cho 2; 3; 4 nhưng không chia hết cho 24 nhé)

n³ - n = n ( n - 1 ) ( n + 1 )

n ( n - 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 

Vì n lẻ => n - 1 ; n + 1 là tích số chẵn chia hết cho 4

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 4

3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 3 

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 2 . 3 . 4 = 24 

=> n³ - n chia hết cho 24 ( đpcm ) .

hu hu.. ! lần này mình tự làm nếu còn giống của bạn nào thì đừng bảo mình coppy nhé ! cai nay tu minh biet nen minh tu lam day !

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là (a - 1), a, (a + 1) 
chứng minh: (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3 chia hết cho 9 
=>(a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3=a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a +1 = 3a^3 + 6a 
= >3a(a^2 + 2) = 3a(a^2 - 1) + 9a 
= >3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
ta da biet tíck của 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hhết cho 3 nên 3(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 9 
Mặt khác 9a chia hết cho 9 nên 
=>3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
hay ta dc điều phải chứng minh