\(x^2\left(y-1\right)\) +\(y^2\left(x-1\right)\) =1                                                                                                                                                                  \(\Leftrightarrow\) \(x^2y-x^2+y^2x-y^2=1\)                                                                                                                                                                                 \(\Leftrightarrow\)  \(-\left(4+x^2+y^2+4x+2xy+4y\right)+4+4x+2xy+4y+x^2y+y^2x=1\)                                       \(\Leftrightarrow\)    \(-\left(2+x+y\right)^2+xy\left(2+x+y\right)+4\left(2+x+y\right)-4=1\)                                                                            \(\Leftrightarrow\)      \(\left(2+x+y\right)\left(-x-y-2+xy+4\right)=5\)                                                                                                                                   \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(xy-x-y+2\right)=5\)                                                                                                                                     rồi đưa về pt ước số là được(5 là số nguyên tố)

đáp án =-1

Áp dụng bđt bu nhi a, ta có 

\(P^2\le3\left(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\right)\)

Áp dụng bđt cô si, ta có 

\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

tương tự với mấy cái kia =>\(P^2\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

mà với abc =1, thì bạn sẽ chứng minh được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

phân thức thứ 1 để nguyê, phân thức thứ 2 nhân với ab, phân thức thứ 3 nhân với b, rồi chỗ napf có abc thì thay abc=1

thì bạn sẽ chứng minh được cái kia=1 

=>\(P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)

dâu = xảy ra <=>a=b=c=1

Dễ thấy theo AM - GM :

\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+b\right)+\left(b^2+1\right)+2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab+2b+2}}\)

\(\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{3}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{3}\right);\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ca+a^2+1}+\frac{1}{3}\right)\)

Cộng lại ta sẽ có đpcm

Vì dễ thấy \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) với abc=1

x+1/y và y+1/x là các số nguyên 

=> (x+1/y).(y+1/x) là số nguyên

<=> xy+1/xy+2 là số nguyên 

<=> xy+1/xy là số nguyên

<=> (xy+1/xy)^2 là số tự nhiên

<=> x^2y^2+1/x^2y^2+2 là số tự nhiên

=> x^2y^2+1/x^2y^2 là số nguyên

=> ĐPCM

k mk nha

cảm ơn bạn/anh/chị/thầy/cô nhiều nha

Ta có:\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Từ giả thiết ta có a,b \(\ne\)0\(\Rightarrow a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}=\frac{2}{a^2-ab+b^2}\)

Vì \(a^2-ab+b^2=\frac{a^2-2ab+b^2+a^2+b^2}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2+a^2+b^2}{2}\ge0\)

nên \(a+b=\frac{2}{a^2-ab+b^2}\le\frac{2}{1}=2\)

Tại sao \(a^2-ab+b^2=1\)vậy bn??

b) Giả sử:

  \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^4-a^3b-ab^3-b^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)                 BĐT đúng

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Mà \(a+b\ge2\)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge2\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)

• Với a=0 thay vào đc   \({{2.0^4+1}\over{1+0^2}}={1\over1}=1\)

       \(>\) \(3.0^2-1=-1\)

       => đúng với đpcm

• Với a=1 thay vào đc \({{2.1^4+1}\over{1+1^2}}={3\over2}\)

           \(<\) \(3.1^2-1=2\)

         => Trái với đpcm

        => Đề sai