Gọi thời gian làm xong việc một mình của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là \(x,y\left(x,y>0\right)\)(đơn vị: h)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm xong \(\frac{1}{x}\)công việc còn người thứ hai làm xong \(\frac{1}{y}\)công việc.

2 người cùng làm trong 12 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình \(\frac{12}{x}+\frac{12}{y}=1\)(1)

Trong 8 giờ, 2 người hoàn thành \(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}\)công việc, sau đó người thứ 2 làm việc một mình trong 6h40p \(=\frac{20}{3}\)h, tức là hoàn thành thêm \(\frac{20}{3y}\) công việc thì xong công việc nên ta có pt \(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{20}{3y}=1\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hpt \(\hept{\begin{cases}\frac{12}{x}+\frac{12}{y}=1\\\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{20}{3y}=1\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=a\left(a>0\right)\\\frac{1}{y}=b\left(b>0\right)\end{cases}}\), hpt trên trở thành \(\hept{\begin{cases}12a+12b=1\\8a+8b+\frac{20}{3}b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}24a+24b=2\\24a+24b+20b=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12a+12b=1\\20b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12a+12.\frac{1}{20}=1\\b=\frac{1}{20}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{30}\\b=\frac{1}{20}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{30}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{20}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=30\\y=20\end{cases}}\)(nhận)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc mất 30h, người thứ hai làm xong công việc một mình mất 20h

\(x^2+2x-4\sqrt{x}-6\sqrt{2x+7}+19=0\)(ĐK: \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+2x+2-4\sqrt{x}+2x+16-6\sqrt{2x+7}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+2\frac{\left(x+1\right)^2-16x}{x+1+2\sqrt{x}}+2\frac{\left(x+8\right)^2-9\left(2x+7\right)}{x+8+3\sqrt{2x+7}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)\left(1+\frac{2}{x+1+2\sqrt{x}}+\frac{2}{x+8+3\sqrt{2x+7}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)(vì \(x>0\)) 

\(\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn)

Gọi \(x\)là số học sinh cả 3 mốn Toán , Văn , Ngoại ngữ \(\left(x>0\right)\)

Ta có :

Số học sinh chỉ giỏi Toán là :

\(70-49-\left(32-x\right)\)

Số học sinh chỉ giỏi Văn là :

\(65-49-\left(34-x\right)\)

Số học sinh chỉ giỏi ngoại ngữ là :

\(62-34-\left(32-x\right)\)

Do có 6 học sinh không đạt yêu cầu 3 môn nên : 

\(111-6=70-49-\left(32-x\right)+65-49-\left(34-x\right)+62-34-\left(32-x\right)+\left(34-x\right)\)

\(\Rightarrow82+x=105\Rightarrow x=23\)

có 10 con chó đang đi có người mang 9 con chó và lấy đi 383 con và chia 3 vây còn lai bao nhiêu con chó

Tham khảo:

Ta có
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
<=> (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=> (a + b + c)^3 - 3c(a + b)(a + b + c) - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) = 0
<=> (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0
<=> a + b + c = 0  hoặc   a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
(+) a + b + c = 0
=> A = (1 + a/b)(1+ b/c)(1 + c/a) = (a + b)(b + c)(c + a)/abc = -abc/abc = -1
(+) a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
<=> 1/2.[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0
<=> a - b = b - c = c - a = 0
<=> a = b = c
=> A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8

Theo bất đẳng thức Cô - si , ta có :

\(a^3+b^3+c^3\Rightarrow3.\sqrt{3}\left(a^3.b^3.c^3\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow3a^3=3abc\)

\(\Rightarrow a^3=abc\Rightarrow a^2=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

\(3b^3=3abc\Rightarrow b^3=abc=b^2=ac=\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=2.2.2\Rightarrow P=8\)

Xét hpt \(\hept{\begin{cases}2x+y=3\left(a=2;b=1;c=3\right)\\3x-y=1\left(a'=3;b'=-1;c'=1\right)\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{a}{a'}=\frac{2}{3}\)và \(\frac{b}{b'}=\frac{1}{-1}=-1\), do đó \(\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}\), dẫn đến hpt đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

\(\Rightarrow\)Chọn A

Đáp án:

Kẻ \(OH\perp AB\)tại H

Không mất tính tổng quát, giả sử A nằm giữa M và B.

Ta có \(MA+MB\)\(=MA+MA+AH+HB\)\(=2MA+AH+HB\)

Đường tròn (O;2cm) có dây AB, \(OH\perp AB\)tại H \(\Rightarrow\)H là trung điểm AB \(\Rightarrow AH=HB\left(=\frac{AB}{2}\right)\)

Do đó \(MA+MB=2MA+AH+HB\)\(=2MA+2AH\)\(=2\left(MA+AH\right)\)\(=2MH\)

Xét đường thẳng OH có MH là đường vuông góc kẻ từ M đến OH và OM là một đường xiên kẻ từ M đến OH nên \(MH\le OM=3cm\)\(\Rightarrow MA+MB=2MH\le2OM=2.3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MH=OM\Rightarrow H\equiv O\Rightarrow\)Đường thẳng d đi qua O.

Vậy GTLN của \(MA+MB\)là 6cm khi đường thẳng d đi qua O

Ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có công thức để tìm đường chéo hình vuông\(=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\)Cứ sau một lần như thế thì cạnh hình vuông sẽ tăng lên \(\sqrt{2}\)hay diện tích hình vuông sau 1 lần như thế thì sẽ gấp\(\sqrt{2}^2=4lần\)

\(\Rightarrow\)Cứ một lần hình vuông bằng cạnh hình vuông trước thì diện tích sẽ gấp 4 lần:

\(\Rightarrow\)Nếu diện tích hình vuông thứ 2022 hay lặp lại cái trên 2022 lần thì diện tích sẽ gấp \(2022\cdot4=8088lần\)hình vuông ban đầu.

Gọi diện tích các hình vuông là S₁ ; S₂ ; ... S₂₀₂₂ với độ dài cạnh tương ứng là a ; a₂ ; a₃ ; ... ; a₂₀₂₂

Dựng hình vuông thứ n có cạnh a_n với độ dài cạnh là đường chéo hình vuông có cạnh a_{n - 1} (n \(\inℕ^∗\) )

=> S_n = (a_n)² (1)

S_{n - 1} = (a_n-1)² (2) 

Khi đó (a_n)²= 2(a_{n - 1})² 

=> \(a_n=\sqrt{2}a_{n-1}\)(3) 

Từ (3)(2)(1) => \(S_n=2.S_{n-1}\)

Khi đó với 1 < n < 2023

=> \(S_{2022}=2S_{2021}=2^2S_{2020}=...=2^{2021}S_1\)= 2²⁰²¹a²

a, Ta có : 

`2(a^2 + b^2) – (a + b)^2`

`= 2a^2 + 2b^2  – a^2 – 2ab – b^2`

`= a^2  – 2ab + b^2`

`= (a – b)^2 ≥ 0`

`=> đpcm`

Dấu “=” xẩy ra

`<=> a = b`

b, Ta có : 

 `3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2`

`= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – a^2 – b^2 – c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2)`

`= (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` 

`=> đpcm`

Dấu “=” xây ra

`<=> a = b = c`

Cách khác : Biến đổi tương đương

a, \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng

b, \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\le3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)