A = \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)

<=> 2A = \(2\left(x^2+y^2\right)+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+8\)

Ta có \(2\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)(Bất đẳng thức Bunyakovsky) (1) 

Áp dụng tương tự ta có

 \(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)=\left(1^2+1^2\right).\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\) (BĐT Bunyakovsky)

\(\ge\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=16\) (BĐT Schwarz) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(2A\ge1+16+8=25\Leftrightarrow A\ge\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Gọi thời gian vòi 1,2 chảy đầy bể lần lượt là x , y (x > 12, y > 12)

1 giờ vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể

1 giờ vòi  2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể

=> 1 giờ 2 vòi chảy được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (bể) (1)

Lại có : Khi 2 vòi chảy chung trong 4 giờ và vòi 1 chảy trong 14 giờ

tiếp theo thì đầy bể 

nên ta có : \(4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+14.\dfrac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=28\\x=21\end{matrix}\right.\)(t/m) 

Vậy vòi 1 chảy đầy bể 1 mình sau 21 giờ

vòi 2 xong trong 28 giờ

a. \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\3x+6y=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{4}\\y=\dfrac{7}{8}\end{matrix}\right.\)

b. Đặt a = \(\sqrt{x+1}\); \(b=\sqrt{y-2}\) ta có hệ mới là: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2a-3b=5\\4a+b=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=4\\\sqrt{y-2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=16\\y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=3\end{matrix}\right.\)

`1/4x^2=-1/2x+2`

`<=>x^2=-2x+8`

`<=>x^2+2x+1=9`

`<=>(x+1)^2=9`

`<=>x+1=3` hoặc `x+1=-3`

`<=>x=2`     hoặc `x=-4`