Lời giải:
$p^4+2019q^4=p^4-q^4+2020q^4$

$=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4$
Vì $p,q$ là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $p,q$ không chia hết cho 5.

$\Rightarrow p^2,q^2$ không chia hết cho 5.

Ta biết rằng 1 scp khi chia 5 dư $0,1,4$. 

Vì $p^2,q^2$ là scp và không chia hết cho 5 nên $p^2,q^2$ chia 5 dư $1,4$

Nếu $p^2,q^2$ cùng chia 5 dư 1 hoặc dư 4 thì $p^2-q^2\vdots 5$

$\Rightarrow (p^2-q^2)(p^2+q^2)\vdots 5$

$\Rightarrow p^4+2019q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4\vdots 5$

Nếu $p^2,q^2$ khac số dư khi chia cho 5 thì 1 số chia 5 dư 1 và 1 số chia 5 dư 4

$\Rightarrow p^2+q^2$ chia 5 dư $1+4=5$ (hay dư 0)

$\Rightarrow p^2+q^2\vdots 5$

$\Rightarrow (p^2-q^2)(p^2+q^2)\vdots 5$

$\Rightarrow p^4+2019q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4\vdots 5$

Từ hai TH trên ta có kết luận $p^4+2019q^4\vdots 5$

a: \(\dfrac{2}{3}\cdot x-1\dfrac{2}{5}\cdot x=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{7}{5}\cdot x=\dfrac{3}{5}\)

=>\(x\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{5}\right)=\dfrac{3}{5}\)

=>\(x\cdot\dfrac{10-21}{15}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(x\cdot\dfrac{-11}{15}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(x=\dfrac{3}{5}:\dfrac{-11}{15}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{-15}{11}=\dfrac{-9}{11}\)

b: \(\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{3}\left(x+2\right)=\dfrac{3}{2}\)

=>\(\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{2}\)

=>\(x\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}\)

=>\(x\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{13}{6}\)

=>\(x=\dfrac{13}{6}\cdot15=\dfrac{195}{6}=\dfrac{65}{2}\)

c: \(\left(5x-1\right)\left(2x-\dfrac{1}{3}\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}5x-1=0\\2x-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{5}\\x=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

d: \(\left(3-2x\right)\left(\dfrac{4}{7}x+2\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}3-2x=0\\\dfrac{4}{7}x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=3\\\dfrac{4}{7}x=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\x=-2:\dfrac{4}{7}=-2\cdot\dfrac{7}{4}=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Số hs nữ ban đầu = 90% số hs nam 

Số hs nữ ban đầu = 75% (số hs nam + 4)

Vậy tỉ số số hs nam ban đầu và lúc sau là:

$\frac{75}{90}=\frac{5}{6}$

Hiệu số hs nam lúc sau và ban đầu là: $4$ (hs)
Số hs nam ban đầu: $4:(6-5)\times 5=20$ (hs) 

Số hs nữ ban đầu:

$20\times 90:100=18$ (hs) 

Số hs của lớp ban đầu: $20+18=38$ (hs)

Lời giải:
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được:

$1:6=\frac{1}{6}$ (công việc) 

Nếu 3 người làm chung thì sau 1 giờ làm được:

$\frac{3}{10}+\frac{1}{6}=\frac{7}{15}$ (công việc)

Số phần công việc chưa hoàn thành là:

$1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}$

Lời giải:

Số thứ nhất = $\frac{4}{3}$ số thứ hai

Số thứ nhất = $\frac{10}{9}$ (số thứ hai + 60)

Vậy $\frac{4}{3}$ số thứ hai bằng $\frac{10}{9}$ (số thứ hai + 60)

Tỉ số số thứ hai lúc trước và sau là:

$\frac{10}{9}: \frac{4}{3}=\frac{5}{6}$

Hiệu số số thứ hai lúc sau và trước: $60$

Số thứ hai là: $60:(6-5)\times 5=300$ 

Số thứ nhất là: $300\times \frac{4}{3}=400$ 

Lời giải:
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{2011})$

$=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}....\frac{2010}{2011}$
$=\frac{1.2.3...2010}{2.3.4...2011}$
$=\frac{1}{2011}$

Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.

$\Rightarrow \frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$

Khi đó:
$\frac{4}{5}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}$

$\Rightarrow 4c\leq 15<16\Rightarrow c<4$
Mà $c$ nguyên dương nên $c=1,2,3$

Nếu $c=1$ thì:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{c}=\frac{4}{5}-1=\frac{-1}{5}<0$ (vô lý do $a>0, b>0$)

Nếu $c=2$ thì:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$

Do $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}$ nên:

$\frac{3}{10}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq \frac{2}{b}$

$\Rightarrow 3b< 20< 21\Rightarrow b< 7$

Thử các TH: $b=2,3,4,5,6$ thấy với $b=4$ thì $a=20$; $b=5$ thì $a=10$

Nếu $c=3$ thì:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{3}=\frac{7}{15}\leq \frac{2}{b}$

$\Rightarrow 7b\leq 30< 35$

$\Rightarrow b< 5$. Mà $b\geq c=3$ nên $b=3$ hoặc $b=4$

Thử 2 TH trên thấy đều không thỏa mãn.

Vậy $(a,b,c)=(10,5,2), (20, 4,2)$ và hoán vị 

Ta có:

n + 2 = n + 1 + 1

Để (n + 2)/(n + 1) là số nguyên thì 1 ⋮ (n + 1)

n + 1 ∈ Ư(1) = {-1; 1}

n + 1 ∈ {-2; 0}