1= f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2); f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).b) Nếu hàm số đồng...
Đọc tiếp
1=
f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);
f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).
2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.
Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số nghịch biếnđồng biến.
Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số nghịch biếnđồng biến.
Kiểm tra
Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.
Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:
Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?
\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)(0;2π)
\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)
\left(\dfrac{3\pi}{2};\pi\right)(23π;π)
\left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right)(0;23π)
Kiểm tra
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.
Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.
II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.
1) Tập xác định: \mathbb{R}R.
2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2
3) Bảng biến thiên
4) Rút ra kết luận:
Hàm số nghịch biếnđồng biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).
Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).
vẽ trên phần mềm nhéeeeeeeeeeeeeeeeeeeee