Đặt \(a=x^2+x+1\)\(\Rightarrow\)\(a+1=x^2+x+2\)

Ta có: \(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)-6=a.\left(a+1\right)-6\)

                                                                             \(=a^2+a-6\)

                                                                             \(=\left(a^2-2a\right)+\left(3a-6\right)\)

                                                                             \(=a.\left(a-2\right)+3\left(a-2\right)\)

                                                                             \(=\left(a+3\right).\left(a-2\right)\)

                                                                             \(=\left(x^2+x+1+3\right).\left(x^2+x+1-2\right)\)

                                                                             \(=\left(x^2+x+4\right)\left(x^2+x-1\right)\)

   Chúc bn hok tốt

( x² + x + 1 )( x² + x + 2 ) - 6 (*)

Đặt x² + x + 1 = t

(*) = t( t + 1 ) - 6

     = t² + t - 6

     = t² - 2t + 3t - 6

     = t( t - 2 ) + 3( t - 2 )

     = ( t - 2 )( t + 3 )

     = ( x² + x + 1 - 2 )( x² + x + 1 + 3 )

     = ( x² + x - 1 )( x² + x + 4 )

a. \(y=\frac{2}{2x+3}\in Z\)

\(\Rightarrow2x+3\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{-5;-4;-2;-1\right\}\). Vì x thuộc Z

\(\Rightarrow x\in\left\{-2;-1\right\}\)

b. \(y=\frac{2x-1}{2x-3}=\frac{2x-3+2}{2x-3}=1+\frac{2}{2x-3}\)

Vì y thuộc Z nên 2 / 2x - 3 thuộc Z

\(\Rightarrow2x-3\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{1;2;4;5\right\}\). Vì x thuộc Z

\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

c. \(y=\frac{2x^2-1}{2x-3}=\frac{x\left(2x-3\right)+2x-3-x+2}{2x-3}=x+1-\frac{x+2}{2x-3}\)

Vì y thuộc Z nên x thuộc Z ; x + 2 / 2x - 3 thuộc Z

=> 2x + 4 / 2x - 3 thuộc Z

=> 2x - 3 + 7 / 2x - 3 thuộc Z

=> 7 / 2x - 3 thuộc Z

\(\Rightarrow2x-3\in\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{-4;2;4;10\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-2;1;2;5\right\}\) ( tm x thuộc Z )

d,e tương tự

lm hết hộ mik

Hy vọng bài này giúp được bạn, vào TKHĐ xem nhé

x⁴ - 2y² = 1 => x⁴ - 1 = 2y² ( 1 )

Dễ thấy : x lẻ \(x^4\equiv1\) ( mod 4 )

=> y² chẵn => y chẵn

Đặt \(x=2k+1;y=2n\left(k;n\in Z\right)\). Ta có :

\(\left(4k^2+4k+1\right)^2-1=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4k^2+4k+2\right)\left(4k^2+4k\right)=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k^2+2k+1\right)\left(k^2+k\right)=n^2\)

Với k = 0 thì \(y=0\) ( tm )

Thay y = 0 vào ( 1 ) ta được \(x=\pm1\) ( tm )

Với \(k\ge1\)

Đặt \(k^2+k=m\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)m=n^2\)

=> m ; 2m + 1 là SCP

Ta lại có : \(k^2< k^2+k< \left(k+1\right)^2\) 

Vì k² + k kẹp giữa 2 SCP liên tiếp nên k² + k không thể là SCP

Vậy pt có các nghiệm ( x ; y ) là : ( 1 ; 0 ) ; ( - 1 ; 0 ) 

Tohru ( ʚ๖ۣۜTεαм ๖ۣۜFℓαʂɦɞ )  làm vậy có dài không bạn?

\(x^4-2y^2=1\Leftrightarrow x^4=1+2y^2\)

Do \(\hept{\begin{cases}x^4\ge0\forall x\\2y^2\ge0\forall y\end{cases}}\)

Để x,y nguyên => \(\hept{\begin{cases}x^4=1\\2y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)

a, \(\left(x+2\right)^3-x\left(x^2+6x-3\right)=0\Leftrightarrow x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8-x^3-6x^2+3x=0\)

\(\Leftrightarrow15x+8=0\Leftrightarrow x=-\frac{8}{15}\)

b, \(\left(x+4\right)^3-x\left(x+6\right)^2=7\Leftrightarrow12x+64=0\Leftrightarrow x=-\frac{19}{4}\)làm tắt:P 

Tự làm nốt nhé 

\(x\left(x+y\right)-xy\left(x+y\right)=x^2+xy-x^2y-xy^2=-x\left(x+y\right)\left(y-1\right)\)

Thay x = 1 ; y = -5 ta có : 

\(-1\left(1-5\right)\left(-5-1\right)=-1\left(-4\right)\left(-6\right)=-24\)

\(x\left(x+y\right)-xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x-xy\right)\left(x+y\right)\)

\(=x\left(1-y\right)\left(x+y\right)\)

Thay x = 1 ; y = -5 vào biểu thức ta có :

\(1.\left[1-\left(-5\right)\right].\left[1+\left(-5\right)\right]=1.6.\left(-4\right)=-24\)

Vậy tại x = 1 ; y = -5 thì biểu thức x(x+y) - xy(x+y) có giá trị = -24

Ta có:

\(A=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)}{2}\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\)

\(=5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\)

Đặt \(2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)=c\)

Từ công thức: \(a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x\left(a,b,x\inℤ\right)\Rightarrow a^2\cdot b^2=\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Nếu \(c\) là số chính phương thì \(5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\) là số chính phương.

Có thể thấy các thừa số của tích \(c\) mà có dạng \(\left(2d\right)^4+4\left(d\inℕ\right)\) thì chia hết cho \(2^2\).

Phân tích các thừa số của tích \(c\) ra thừa số nguyên tố. Ta có:

\(c=2\cdot\left(...\right)\left(2^2\cdot5\cdot13\right)\left(...\right)\left(2^2\cdot5^2\cdot13\right)...\left(2020^4+4=2^2\cdot...\right)\left(2021^4+4=...\cdot...\right)\)

Gộp các thừa số \(2^2\) lại thành tích ta có:

\(c=\left(2^2\right)^{\frac{\left(2021-3+1\right)-1}{2}}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^2\right)^{1009}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) (trong đó ký hiệu \(e\) là tích của các thừa số nguyên tố còn lại trong dãy \(\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\) sau khi 1009 thừa số \(2^2\) bị tách ra.

Có thể thấy tích \(e\) gồm các thừa số nguyên tố lớn hơn 2\(\Rightarrow2e\) không thể là số chính phương.

\(\Rightarrow\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) không phải là số chính phương\(\Rightarrow c\) không phải là số chính phương.

\(\Rightarrow A\) không phải là số chính phương (đpcm).

\(x^4+2x^3+3x^2+2x=y^2-y\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=y^2-y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)^2=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1-y+\frac{1}{2}\right)\left(x^2+x+1+y-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-y+\frac{3}{2}\right)\left(x^2+x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2+2x-2y+3\right)\left(2x^2+2x+2y+1\right)=3\)

Đến đây chắc khó.

Có AD \(\perp\)BC nên ta có \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}\)

cmtt có \(\widehat{AHE}=90-\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\)

Xét \(\Delta\) AFE và \(\Delta\) ABC có 

\(\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BAC}chung\)

\(\Rightarrow\Delta AFE\infty\Delta ABC\left(g-g\right)\)

#cỪu