Cho tam giác đều ABCABC, OO là trung điểm của BCBC. Trên các cạnh AB,ACAB,AC lần lượt lấy các điểm di động DD và EE sao cho góc ˆDOE=600DOE^=600.a) Chứng minh tích BD.CEBD.CE không đổi.b) Chứng minh ΔBODΔBOD đồng dạng ΔOEDΔOED. Từ đó suy ra tia DODO là tia phân giác của góc BDEBDE.c) Vẽ đường tròn tâm OO tiếp xúc với ABAB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc...
Đọc tiếp
Cho tam giác đều ABCABC, OO là trung điểm của BCBC. Trên các cạnh AB,ACAB,AC lần lượt lấy các điểm di động DD và EE sao cho góc ˆDOE=600DOE^=600.
a) Chứng minh tích BD.CEBD.CE không đổi.
b) Chứng minh ΔBODΔBOD đồng dạng ΔOEDΔOED. Từ đó suy ra tia DODO là tia phân giác của góc BDEBDE.
c) Vẽ đường tròn tâm OO tiếp xúc với ABAB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DEDE.
.
a) Chứng minh tích BD.CEBD.CE không đổi.
Xét hai tam giác: ΔBOD∆BOD và ΔCEO∆CEO, ta có: ˆB=ˆC=600B^=C^=600 (gt) (1)
Ta có ˆDOCDOC^ là góc ngoài của ΔBDO∆BDO nên: ˆDOC=ˆB+ˆD1DOC^=B^+D^1
hay ˆO1+ˆO2=ˆB+ˆD1⇔600+ˆO2=600+ˆD1O1^+O2^=B^+D1^⇔600+O2^=600+D1^
⇔ˆO2=ˆD1(2)⇔O2^=D1^(2)
Từ (1) và (2) ⇒ΔBOD⇒∆BOD đồng dạng ΔCEO∆CEO (g.g)
⇒BDBO=COCE⇒BD.CE=BO.CO⇒BDBO=COCE⇒BD.CE=BO.CO
hay BD.CE=BC2.BC2=BC24BD.CE=BC2.BC2=BC24 (không đổi)
Vậy BD.CE=BC24BD.CE=BC24 không đổi
b) Chứng minh ΔBODΔBOD đồng dạng ΔOEDΔOED
Từ câu (a) ta có: ΔBOD∆BOD đồng dạng ΔCEO∆CEO
⇒ODOE=BDOC=BDOB⇒ODOE=BDOC=BDOB (do OC=OBOC=OB)
Mà ˆB=ˆDOE=600B^=DOE^=600
Vậy ΔBODΔBOD đồng dạng ΔOEDΔOED (c.g.c) ⇒ˆBDO=ˆODE⇒BDO^=ODE^
hay DODO là tia phân giác của góc BDEBDE
c) Vẽ OK⊥DEOK⊥DE và gọi II là tiếp điểm của (O)(O) với ABAB, khi đó OI⊥ABOI⊥AB. Xét hai tam giác vuông: IDOIDO và KDOKDO, ta có:
DODO chung
ˆD1=ˆD2D1^=D2^ (chứng minh trên)
Vậy ΔIDOΔIDO = ΔKDOΔKDO⇒OI=OK⇒OI=OK
Điều này chứng tỏ rằng OKOK là bán kính của (O)(O) và OK⊥DEOK⊥DE nên KK là tiếp điểm của DEDE với (O)(O)hay DEDE tiếp xúc với đường tròn (O)