ĐK: x-y>0

pt (2) <=> \(x^2+y^2-\frac{8xy}{x-y}=16\)

<=> \(x^2+y^2-2xy-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^3-16\left(x-y\right)+2xy\left(x-y\right)-8xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x-y-4\right)\left(x-y+4\right)+2xy\left(x-y-4\right)=0\)

<=> \(\left(x-y-4\right)\left[\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy\right]=0\)(a)

Vì \(\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+2xy=x^2+y^2+4\left(x-y\right)>0\)

Nên (a) <=> \(x-y-4=0\Leftrightarrow x=y+4\)thế vào pt (1) ta có:

\(\sqrt{4}+9=2y^2-\left(y+4\right)\Leftrightarrow2y^2-y-15=0\)

Em làm tiếp nhé! giải đen ta ra nghiệm đẹp.

Vì \(0\le a,b,c,d\le1\Rightarrow abc+1\ge abcd+1\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b+c+c}{abcd+1}\)

Do \(\hept{\begin{cases}\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\\\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge0\\\left(1-ab\right)\left(1-cd\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\le1+ab\\c+d\le1+cd\\ab+cd\le1+abcd\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\le2+ab+cd\le2+1+abcd=3+abcd\)

Vậy \(VT\le\frac{3+abcd}{1+abcd}\le\frac{3\left(1+abcd\right)}{1+abcd}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=0,b=c=d=1

Cho x,y>0 thỏa mãn x³+y³=x−y. Chứng minh: x²+y²<1.

Cho x,y>0x,y>0 thỏa mãn x³+y³=x−y. Chứng minh: x²+y²<1.

.............................

ĐKXĐ \(\left|x\right|\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Đặt \(\sqrt{2x^2-1}=t\ge0\)

<=> \(\left(3x+1\right)t=2t^2+x^2+\frac{3}{2}x-1\)

<=> \(2t^2-\left(3x+1\right)t+x^2+\frac{3}{2}x-1=0\)

\(\Delta_t=\left(x-3\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{2x-1}{2}\\t=\frac{x+2}{2}\end{cases}}\)

Phần còn lại bạn tự giải nhé

Cách khác, bình phương cũng ra nhé

Em giải cho chị bên h o c 2 4 rồi mà?

Link: Câu hỏi của Phạm Thị Thùy Linh (không biết admin đã fix lỗi ko dán link h o c 2 4 vào chưa, nếu chưa thì ib, em gửi full link)

ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)

Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên

=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương

Gọi UCLN của k và k-p là d

=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)

=> \(p⋮d\)

Mà p là số nguyên tố

=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)

+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)

=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương

=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương 

Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)

+\(d=1\)

=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)

=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)

=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ

Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)

\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)

Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p  nhé!

A C B H D E F

a) Có AH²=HF.HD \(\rightarrow\)\(\frac{AH}{HF}=\frac{HD}{AH}\)

      Xét \(\Delta\)AHD và \(\Delta\)FHA có:

        \(\widehat{AHD}=\widehat{FHA}=90^o\)

           \(\frac{AH}{HF}=\frac{HD}{AH}\)( chứng minh trên)

\(\rightarrow\Delta\)AHD\(\approx\)\(\Delta\)FHA (c-g-c)

\(\rightarrow\)\(\widehat{ADH}=\widehat{FAH}\)( 2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{ADH}+\widehat{HAD}=90^o\)

nên \(\widehat{FAH}+\widehat{HAD}=90^o\)

hay  \(\widehat{FAD}=90^o\)\(\rightarrow\Delta\)ADF vuông tại A

ĐKXĐ: Bạn tự làm nha 

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\left(2\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+1\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(B=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}+1}-\frac{2}{a-1}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}+1}-\frac{2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\)

\(=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{1\left(\sqrt{a}-1\right)-2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}.\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1-2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-3\right)}\)

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1;\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{1-2x+x^2}{2}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^1}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(x-\sqrt{x}-4\right)\left(x-1\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(x-\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}\)

Ta có: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\times\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\) 

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\) 

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\) 

\(P=\frac{x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-x}{-\left(1-x\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\) 

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(x-4-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}\)

ĐKXĐ : \(x^3+x^2+6\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow x^2+x+9=6+x^2+x^3\)

    \(\Leftrightarrow x^3-x-3=0\)

Đến đây có lẽ dùng công thức Cardano là ra , nhưng mà không biết bạn học Cardano chưa nhỉ ?

Incursion_03Cardano mình học rồi

M đạt max khi \(\frac{1}{M}\) đạt min

\(\frac{1}{M}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{M}\ge\frac{3}{4}\Rightarrow M\le\frac{4}{3}\)

dấu = xảy ra khi x=1/2

bạn trả lời rõ hơn dc ko bạn