a) Ta có: gócDAB+gócBAC=gócDAC
               gócEAC+gócBAC=gócBAE
       MÀ gócDAB=gócEAC(=90độ)
=> gócDAC=gócBAE
xét tam giác DAC và tam giác BAE có:
AD=AB(GT)
AE=AC(GT)
gócDAC=gócBAE(cmt)
=>tam giác DAC =tam giác BAE(c.g.c) 
gọi giao điểm của AB và CD là F
      giao điểm của BE VÀ CD là I
Xét tam giác afd vuông tại A
=>gócADF+gócDFA=90độ
   mà gócADF= gócABI ( tam giác DAC =tam giác BAE  )
gócDFA=gócBFI
=> gócABI+gócBFI=90độ
=>gócFIB=90độ
=>CD vuông góc BE

b)từ a 
có KH,BE,CD là 3 đường cao của tam giácKBC nên chúng đồng quy tại I

a) Kẻ DM, EN vuông góc BC.

Xét :

_ AC = CE

_ 

_  (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Nên chúng bằng nhau, suy ra: 

Tương tự: 

Do  (P là giao của CK và BE, quên vẽ) nên CNEP là tứ giác ntiếp 

Do đó 2 tam giác vuông 

Từ đó: 

2 tg này có 2 cặp cạnh tg ứng vuông góc là MD, BH và MC, KH nên cặp còn lại 

b) Từ a ta có KH, BE, CD là 3 đường cao , nên chúng đòng quy tại I.

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được

\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}\)

=> \(a^3+2\ge3a\)

Áp dụng tương tự có

\(ab+1\ge2\sqrt{ab.1}\)

=>\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)

=>\(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3a}{2\sqrt{ab}}\)

=> \(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Chứng minh tương tự thì Q\(\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)

Áp dụng cô si lần nữa thì \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\ge\sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}}=1\)

=>Q\(\ge\frac{3}{2}\)

Min Q=3/2. 

#)Mất công lắm tui ms tìm đc cách bải này đấy, xin đừng cho ăn gạch đá :v

Ta có (a^3+2)/(ab+1) = 1/2.(2a^3+4)/(ab+1)
Mà 2a^3+4= (a^3+a^3+1) +3
Mặt khác theo BĐT CBS ta có a^3+a^3+1≥ 3a^2
=>2a^3 +4≥ 3(a^2+1)
Tương tự với (b^3 + 2)/(bc + 1) và (c^3 + 2)/(ca + 1)
=>Q ≥ 3/2[(a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1)]
Theo BĐT CBS=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3.căn bặc ba của [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]
Mà theo bất đẳng thức bunhicốpxki
=>(a^2+1)(b^2+1)≥(ab+1)^2
(b^2+1)(c^2+1)≥(bc+1)^2
(c^2+1)(a^2+1)≥(ac+1)^2
=>[(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]≥1
=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3
=> Q ≥9/2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

       P/s : trả công ( đùa tí :P )

           #~Will~be~Pens~#

Trả lời

         7y + 2 < 16

        => 7y < 14

        => y < 2

Hok tốt

\(7y+2< 16\)

\(\Rightarrow7y< 14\)

\(\Rightarrow y< 2\)

Sử dụng tam giác đồng dạng nhé!

Tam giác CAE cân 

=> AC=AE=6

=> DE=AE-AD=6-2=4

\(\Delta CDE~\Delta AEC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{DE}\Rightarrow CE^2=AC.DE=6.4=24\Rightarrow CE=\sqrt{24}\)

\(\Delta BAC~\Delta ACE\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CE}\Rightarrow AB=\frac{AC^2}{CE}=\frac{6^2}{\sqrt{24}}\)

\(\Rightarrow AB^2=\frac{6^4}{24}=54\)

Câu hỏi của tth(Box Toán-Văn) - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Ta có :

a²b ( a - b ) + b²c ( b - c ) + c²a ( c - a )

= ( a³b + b³c + c³a ) - ( a²b² + b²c² + c²a² )

= \(abc\left(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\right)-\left(abc\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\ge abc.\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right)-\left(abc\right)^2.\frac{9}{a^2+b^2+c^2}=abc\left(a+b+c\right)-\left(abc\right)^2.\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^3\ge27abc\)

\(abc\left(a+b+c\right)-\left(abc\right)^2.\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\ge abc\left[\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)

\(=\frac{abc}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\left[3\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^3\right]\)

\(=\frac{abc}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)\)

vì a³ + b³ + c³ - 3abc \(\ge\)0 nên a²b(a - b ) + b²c ( b - c ) + c²a ( c - a ) \(\ge\)0

\(b,\)\(x^{10}+x^5+1\)

\(=x^{10}-x^7+x^7+x^5+x^3-x^3+1\)

\(=x^7\left(x^3-1\right)+x^3\left(x^4+x^2+1\right)-\left(x^3-1\right)\)

\(=x^7\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+x^3\left(x^4+2x^2+1-x^2\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^7\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+x^3\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)\(-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1\right)\)

\(d,\)\(1+\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

\(=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\)

\(=\left(ab+b\right)+\left(abc+bc\right)+\left(ac+c\right)+\left(a+1\right)\)

\(=b\left(a+1\right)+bc\left(a+1\right)+c\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+bc+c+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left[b\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\right]\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)