a,Ý 1:\(14^{14^{14}}=7^{14^{14}}.2^{14^{14}}\)

Dễ chứng minh \(14^{14}⋮4\) và \(14^{14}\) chia 20 dư 16 nên đặt \(14^{14}=4k=20l+16\)

Ta có:\(14^{14^{14}}=7^{4k}.2^{20l+16}=\left(7^4\right)^k.\left(2^{20}\right)^l.2^{16}\)\(=2401^k.1048576^l.65536\)

\(\equiv\left(01\right)^k.\left(76\right)^l.36=01.76.36=2736\equiv36\)(mod 100)

Ý 2:Để ý:\(5^7\equiv5\)(mod 180).Từ đó chứng minh được :\(5^{121}=5^{98}.5^{23}\equiv25.5^5=1625\equiv5\)(mod 180)
Đặt:\(5^{121}=180m+5\).Khi đó:\(17^{5^{121}}=17^{180m+5}=\left(17^{180}\right)^m.17^5\equiv\left(01\right)^m.57=01.57=57\)(mod 100)
Có được :\(17^{180}\equiv01\)(mod 100) là do:\(17^3\equiv13\)(mod 100)  mà \(13^6\equiv9\) nên \(17^{18}\equiv13^6\equiv9\)(mod 100)
Lại có:\(9^{10}\equiv01\)(mod 100) \(\Rightarrow17^{180}\equiv9^{10}\equiv01\)(mod 100)

b,Ta có:\(2^{20}=16^5\equiv76\)(mod 100) nên \(2^{2000}=\left(2^{20}\right)^{100}\equiv76^{100}\equiv76\)(mod 100)
\(\Rightarrow2^{2006}=2^{2000}.2^6\equiv76.64=4864\equiv64\)(mod 100)
Đặt \(2^{2006}=100t+64\) ta được \(3^{2^{2006}}=3^{100t+64}=\left(3^{100}\right)^t.3^{64}\equiv\left(001\right)^t.3^{64}=3^{64}\)(mod 1000)
Lại có:\(3^{10}\equiv49\)(mod 1000)\(\Rightarrow3^{60}=\left(3^{10}\right)^6\equiv49^6\equiv201\)(mod 1000)
\(\Rightarrow3^{64}=3^{60}.81\equiv81.201=16281\equiv281\)( mod 1000)

 Lưu ý rằng 1001 = 7 * 11 * 13. 

(i) Mod hoạt động 7 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 6 = 1 (mod 7) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 6) ^ 500 = 1 ^ 500 = 1 (mod 7). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 7. 

(ii) Mod hoạt động 11 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 10 = 1 (mod 11) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 10) ^ 300 = 1 ^ 300 = 1 (mod 11). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 11. 

(iii) Mod hoạt động 13 
Theo Định lý nhỏ của Fermat, chúng ta có 300 ^ 12 = 1 (mod 13) 
==> 300 ^ 3000 = (300 ^ 12) ^ 250 = 1 ^ 250 = 1 (mod 13). 
Do đó, 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 13. 

Vì 1001 = 7 * 11 * 13 và 7, 11 và 13 là cặp tương đối nguyên tố, 
chúng tôi kết luận rằng 300 ^ 3000 - 1 chia hết cho 1001

301 = 7 * 43, 

vì vậy 300 ≡ -1 (mod 7) 

Sau đó 300 ^ 3000 - 1 (-1) ^ 3000 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 7) 

Vậy 7 chia 300 ^ 3000 - 1 



297 = 27 * 11, 

vì vậy 300 ≡ 3 (mod 11) 

Sau đó, 
300 ^ 3000 - 1 3 ^ 3000 - 1 ≡ (3 ^ 5) ^ 600 - 1 (mod 11) 

Nhưng 3 ^ 5 = 243 = 22 * ​​11 + 1 
so 3 ^ 5 1 (mod 11) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 (3 ^ 5) ^ 600 - 1 ≡ 1 ^ 600 - 1 ≡ 0 (mod 11) 

Vì vậy, 11 chia 300 ^ 3000 - 1 



Cuối cùng, 299 = 23 * 13, 

vì vậy 300 1 (mod 13) 

Sau đó 
300 ^ 3000 - 1 1 ^ 3000 - 1 ≡ 0 (mod 13) 

Vì vậy, 13 chia 300 ^ 3000 - 1 


Vì 7, 11, 13 đều là số nguyên tố, nó theo đó là sản phẩm của họ, 1001 chia 300 ^ 3000 - 1

a) (x-2)(x+2)(x^2-10)-72=(x^2-4)(x^2-82)

b) x^8+x^6+x^4+x^2+1=x^2 (x^4+x^3+x^2+1+1/x^2)

c)(x+y)^4+x^4+y^4=(x+y)^4+(x+y)^4=2 (x+y)^4

a) (x-2)(x+2)(x^2 - 10) -72

= (x^2 - 4)(x^2 - 10) - 72

= x^4 - 4x^2 -10x^2 + 40 - 72

= x^4 - 14x^2 - 32

= x^4 - 16x^2 + 2x^2 - 32

= x^2(x^2 - 16) + 2(x^2 - 16)

= (x^2 - 16)(x^2 + 2)

= (x-4)(x+4)(x^2 + 2)

c) (x+y)⁴ + x⁴ + y⁴

= 2x⁴ + 4xy³ + 6x²y² + 4x³y + 2y³

= 2(y⁴ + 2xy³ + 3x²y² + 2x³y + x⁴)

= 2(y² + xy + y²)²

tớ thử nha

x5+x-1 = x5-x4+x3+x4-x3+x2-x2+x-1

           = x3(x2-x+1)+x2(x2-x+1)-(x2-x+1)

           = (x2-x+1)(x3+x2-1)

Ta có:\(x^5+x+1\)

\(=\left(x^5-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)\)

\(\frac{2x}{5}+\frac{4x}{25}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{10x}{25}+\frac{4x}{25}=\frac{25}{25}\)

\(\Leftrightarrow10x+4x=25\)

\(\Leftrightarrow14x=25\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{25}{14}\)

\(\frac{2x}{5}+\frac{4x}{25}=1\)

\(\frac{2x}{5}=1-\frac{4x}{25}\)

\(\frac{2x}{5}=\frac{25}{25}-\frac{4x}{25}\)

\(\frac{2x}{5}=\frac{25-4x}{25}\)

\(\Rightarrow\text{ }25\cdot2x=5\left(25-4x\right)\)

       \(50x=125-20x\)

\(\Leftrightarrow\text{ }50x+20x=125\)

        \(70x=125\)

 \(\Rightarrow\text{ }x=\frac{125}{70}=\frac{25}{14}\)

\(目を覚ます ☆☆☆ \)

tự trả lời :

2x + 4x² >8

2x(1 + 2x) >8

TH1 : 2x > 8

x > 4

TH2 : 1 + 2x >8

2x > 7

x > \(\frac{7}{2}\)

\(x+x^2< 5\)

\(\Leftrightarrow x^2+x< 5\)

\(\Leftrightarrow x(x+1)< 5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 5\\x+1< 5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 5\\x< 4\end{cases}}\)

Bạn 🕎NG Hùng Dũng🔯( Team Boss ) biết làm rồi mà sao ko làm bài cuối

Cách của Kudo là phải mò ra dấu "=" là mới làm được nhé , vậy nếu không mò được thì sao ? 

Xét  \(2S=4x^2+18y^2-4xy+4x+4y\)

               \(=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+17y^2+4x+4y\)

               \(=\left[\left(2x-y\right)^2+2\left(2x-y\right)+1\right]+17y^2+6y-1\)

               \(=\left(2x-y+1\right)^2+17\left(y^2+\frac{6}{17}y+\frac{9}{289}\right)-\frac{26}{17}\)

                \(=\left(2x-y+1\right)^2+17\left(y+\frac{3}{17}\right)^2-\frac{26}{17}\ge-\frac{26}{17}\)

\(\Rightarrow S\ge-\frac{26}{17}\div2=-\frac{13}{17}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\y+\frac{3}{17}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{10}{17}\\y=-\frac{3}{17}\end{cases}}\)

Gọn gàng đẹp mắt =))

Ta có: 
  \(n\left(5n-2\right)-5n\left(n+3\right)\)
\(=n\left(5n-2\right)-n\left(5n+3\right)\)|
 \(=n\left(5n-2-5n-3\right)=-5n\) ; Vì \(n\in Z\)
\(\Rightarrow-5n\in Z\Rightarrow -5n⋮-5\)
Vậy: .......
#HọcTốt!!

a chia 7 dư 1 => a=7x+1 ( x thuộc N)

b chia 7 dư 2 => b=7k+2 (k thuộc N)

=>  ab=(7x+1)(7k+2)=49xk+14x+7k+2

vì 49xk; 14x; 7k đều chia hết cho 7

=> tích ab chia 7 dư 2

Gọi \(a=3k+1;b=3m+2\)

Ta có:\(ab=\left(3k+1\right)\left(3m+2\right)=9km+6k+3m+2\) chia 3 dư 2.

Vậy....

Chia hình vuông thành 25 hình vuông cạnh 1/5
. Khi đó tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 5 điểm. 
Các điểm này nằm trong một hình tròn bán kính bằng 1/7

#)Trả lời : 

Chia hình vuông thành 25 hình vuông cạnh \(\frac{1}{5}\)

Khi đó tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 5 điểm 

Các điểm này nằm trong một hình tròn bán kính \(\frac{1}{7}\)

P/s : Nguồn https://123doc.org/document/953913-bai-tap-to-hop-olympic-30-4.htm

         Tham khảo nhé ^^