Xét: \(\sqrt{1+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2+n^2}{\left(n+1\right)^2}}\) (với \(n\inℕ\))

\(=\sqrt{\frac{n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2+n^2}{\left(n+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n}{\left(n+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(n^2+n+1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}}=\frac{n^2+n+1}{n+1}=n+\frac{1}{n+1}\)

Áp dụng vào ta tính được: \(\sqrt{1+2015^2+\frac{2015^2}{2016^2}}+\frac{2015}{2016}=2015+\frac{1}{2016}+\frac{2015}{2016}\)

\(=2015+1=2016\)

Khi đó: \(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=2016\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=2016\)

Đến đây xét tiếp các TH nhé, ez rồi:))

chẳng biết đúng ko,mới lớp 5

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{1+2015^2+\frac{2015^2}{2016^2}}+\frac{2015}{2016}\)

\(\sqrt{x^2}-\sqrt{2x}+\sqrt{1}+\sqrt{x^2}-\sqrt{4x}+\sqrt{4}=\sqrt{1}+\sqrt{2015^2}+\sqrt{\frac{2015^2}{2016^2}}+\frac{2015}{2016}\)

\(\sqrt{x^2}-\sqrt{6x}+3=1+2015+\frac{2015}{2016}+\frac{2015}{2016}\)

\(x-\sqrt{6x}=1+\frac{2015}{1+2016+2016}-3\)

\(x-\sqrt{6x}=2-\frac{2015}{4033}\)

\(x-\sqrt{6x}=\frac{6051}{4033}\)

lần sau viết có dấu nhé 

Trong đời sống tình cảm của con người, tình yêu cha mẹ, vợ con bao giờ cũng chiếm một vị trí quan trọng. Cha mẹ là người sinh thành nuôi dưỡng, là người có kinh nghiệm sống mà con cái luôn kính yêu. Bởi vậy, đã có rất nhiều bài thơ, bài ca dao viết về chủ đề này. Bài ca dao sau đây chính là tiếng hát đi từ trái tim lên miệng của con cái đối với công lao trời biển của cha mẹ:

Công cha như núi Thái Sơn,

Nghĩa mẹ như nước ở ngoài biển Đông

Núi cao biển rộng mênh mông.

Cù lao chín chữ ghi lòng con ơi !

Bài ca dao thật sâu sắc, chân thật. Nhân dân ta đã diễn tình cảm của con cái đối với cha mẹ một cách tài tình. Mượn hình ảnh núi Thái Sơn, một ngọn núi cao nổi tiếng của Trung Quốc, ví với công cha, phải chăng người xưa muốn nói lên một cách cụ thể công lao của cha thật to lớn, vĩ đại, trong viếc nuôi dạy con cái trưởng thành. Còn hình ảnh so sánh ơn nghĩa của mẹ Nghĩa mẹ như nước ở ngoài biển Đông cũng rất đúng, rất hay. Cách so sánh đó thật tài tình và chứng tỏ người xưa hiểu quy luật tự nhiên nên đã có sự so sánh rất tinh tế này.

Công ơn của cha mẹ đối với con cái như núi cao, biển rộng. Một hình ảnh vẽ chiều đứng hài hoà hình ảnh, vẽ chiều ngang dựng lên một không gian bát ngát mênh mông rất gợi cảm. Chỉ những hình ảnh to lớn, cao rộng không cùng và vĩnh hằng ấy mới diễn tả hết công sinh thành và nuôi dưỡng con cái đối với cha mẹ. Qua nghệ thuật so sánh, qua cách sử dụng từ ngữ đặc tả... ba câu đầu của bài ca dao đã khẳng định và ca ngợi công lao to lớn của cha mẹ đối với con cái. Đây không phải là những lời giáo huấn, không phải là những đòi hỏi về công lao của cha mẹ đối với con cái mà đây là tiếng hát ru ngọt ngào, là lời tâm tình truyền cảm lay động con tim của mỗi người.

Bài ca dao mộc mạc, chân tình, nhưng qua bài ca dao này, em tự thấy mình phải có gắng hơn nữa, em quyết tâm sẽ học thật giỏi, làm thật nhiều việc tốt để trong gia đình em luôn có nụ cười rạng ngời của cha mẹ. Bở em biết rằng: Con cái ngoan mang lại hạnh phúc cho cha mẹ, con cái hư sẽ là kẻ đào mồ chôn cha mẹ.

a) \(A=y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)

\(A=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(y^4-y^4\right)=0\)

=> đpcm

b) \(B=\left(\frac{1}{3}+2x\right)\left(4x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\) (đã sửa đề)

\(B=\left(\frac{1}{27}+8x^3\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\)

\(B=\frac{2}{27}\)

=> đpcm

c) \(C=\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3\left(1-x\right)x\) (đã sửa đề)

\(C=x^3-3x^2+3x-1-x^3+1+3x^2-3x\)

\(C=0\)

=> đpcm

Xét hiệu:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\)

\(=\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)

\(=\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\)

Do \(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2\ge0\forall a,b;\left(\frac{a}{2}-c\right)^2\ge0\forall a,c\);\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2\ge0\forall a,d;\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\forall a,e\)Do đó:

\(\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Dấu"="xảy ra khi \(b=c=d=e=\frac{a}{2}\)

ô kê :))

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a( b + c + d + e )

<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae

Nhân 4 vào từng vế ta được

<=> 4( a² + b² + c² + d² + e² ) ≥ 4( ab + ac + ad + ae )

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae

<=> 4a² + 4b² + 4c² + 4d² + 4e² - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0

<=> ( a² - 4ab + 4b² ) + ( a² - 4ac + 4c² ) + ( a² - 4ad + 4d² ) + ( a² - 4ae + 4e² ) ≥ 0

<=> ( a - 2b )² + ( a - 2c )² + ( a - 2d )² + ( a - 2e )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra <=> b = c = d = e = a/2

Mình xem phép làm câu 1 ạ. 

Đề là?

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)

Chứng minh tương đương 

\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc  - 9ab + 6b² \(\le\)0 ( quy đồng )  (2)

Từ (1) <=> 2ac = ab + bc  Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc  - 9ab + 6b²  \(\le\)0 

<=> a + c \(\ge\)2b 

Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b

1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=> Đẳng thức không xảy ra

2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

1) x - 2 = ( x - 2 )²

<=> ( x - 2 ) - ( x - 2 )² = 0

<=> ( x - 2 )[ 1 - ( x - 2 ) ] = 0

<=> ( x - 2 )( 1 - x + 2 ) = 0

<=> ( x - 2 )( 3 - x ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\3-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=3\end{cases}}\)

2) ( x² + 1 )( 2x - 1 ) + 2x = 1

<=> ( x² + 1 )( 2x - 1 ) + ( 2x - 1 ) = 0

<=> ( 2x - 1 )[ ( x² + 1 ) + 1 ] = 0

<=> ( 2x - 1 )( x² + 1 + 1 ) = 0

<=> ( 2x - 1 )( x² + 2 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x-1=0\\x^2+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)( do x² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x )