EZ game

Xét x=y=0

Xét x và y khác 0

Cộng từng vế hai phương trình

Đánh giá VP >= VT

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)^2+\frac{3}{\left(x+y\right)^2}+\left(x-y\right)^2=7\\\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}+\left(x-y\right)=1\end{cases}}\)  

Đặt \(x+y=a>0,x-y=b\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2+\frac{3}{a^2}+b^2=7\\a+\frac{1}{a}+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+b^2=13\\\left(a+\frac{1}{a}\right)+b=1\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow3\left(1-b\right)^2+b^2=13\) 

\(\Leftrightarrow4b^2-6a-10=0\) 

\(\Leftrightarrow2\left(b+1\right)\left(2b-5\right)=0\) 

...

Bài này hình như x,y,z>0

Ta có: \(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{\left(x^2+xy+yz+zx\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}\)

Tương tự: \(y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}=y\sqrt{\left(x+z\right)^2}\) 

                \(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

Cộng từng vế, ta có: 

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)\) 

\(\Leftrightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

\(\hept{\begin{cases}1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=\left(z+x\right).\left(z+y\right)\\1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)

Thế vào \(A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

\(=2\left(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\right)\)

Nếu x,y,z\(\ge0\Rightarrow A=2\)

Nếu x,y,z\(< 0\)\(\Rightarrow A=-2\)

Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;r) có S =r23√34r2334
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O;r) tại K
Ta có Diện tích tam giác ABC < diện tích tam giác BIC
S BCI = IH.HB 
S2BIC=HB2.IH2SBIC2=HB2.IH2
Lại có: BH2=HK.HIBH2=HK.HI (Hệ thức lượng)
Do đóS2BIC=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)SBIC2=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
HI+HI+HI+(6r−3HI)≥44√HI3.(6r−3IH)⇔32r≥44√HI3.(6r−3IH)HI+HI+HI+(6r−3HI)≥4HI3.(6r−3IH)4⇔32r≥4HI3.(6r−3IH)4
⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒3√34R2≥√IH3(2r−IH)=SBIC⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒334R2≥IH3(2r−IH)=SBIC
Do đóSABCSABC
Dấu "=" xảy ra khi HI = 6r -3IH
Do đó HI =32r32r

Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;r) có S =r23√34r2334
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O;r) tại K
Ta có Diện tích tam giác ABC < diện tích tam giác BIC
S BCI = IH.HB 
S2BIC=HB2.IH2SBIC2=HB2.IH2
Lại có: BH2=HK.HIBH2=HK.HI (Hệ thức lượng)
Do đóS2BIC=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)SBIC2=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
HI+HI+HI+(6r−3HI)≥44√HI3.(6r−3IH)⇔32r≥44√HI3.(6r−3IH)HI+HI+HI+(6r−3HI)≥4HI3.(6r−3IH)4⇔32r≥4HI3.(6r−3IH)4
⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒3√34R2≥√IH3(2r−IH)=SBIC⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒334R2≥IH3(2r−IH)=SBIC
Do đóSABCSABC
Dấu "=" xảy ra khi HI = 6r -3IH
Do đó HI =32r32r

Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;r) có S =r23√34r2334
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O;r) tại K
Ta có Diện tích tam giác ABC < diện tích tam giác BIC
S BCI = IH.HB 
S2BIC=HB2.IH2SBIC2=HB2.IH2
Lại có: BH2=HK.HIBH2=HK.HI (Hệ thức lượng)
Do đóS2BIC=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)SBIC2=KH.IH3=(2r−IH)IH3=IH33(6r−3IH)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
HI+HI+HI+(6r−3HI)≥44√HI3.(6r−3IH)⇔32r≥44√HI3.(6r−3IH)HI+HI+HI+(6r−3HI)≥4HI3.(6r−3IH)4⇔32r≥4HI3.(6r−3IH)4
⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒3√34R2≥√IH3(2r−IH)=SBIC⇒8116r4≥IH3(6r−3IH)⇔2716r2≥IH3.(2r−IH)⇒334R2≥IH3(2r−IH)=SBIC
Do đóSABCSABC
Dấu "=" xảy ra khi HI = 6r -3IH
Do đó HI =32r32r

chưa đọc mà đã thấy hoa  mắt rồi bn ơi

cho mk hỏi cái * trong toán hok là j ạ

Mong bn sẽ có hồi âm sớm