Gì đây em?? Xem đúng chưa hả?

Nếu hỏi vậy thì đúng rồi nhé.

Dạ cảm ơn anh

Ta có : AD = AB 

=> ∆ABD cân tại A

=> ABD = ADB (1) 

Mà AB // CD (gt)

=> ABD = BDC (2)

=> Từ (1) và (2) :

=> ADB = BDC hay DB là phân giác ADC (dpcm)

Ql

( x + 3 )( x - 3 ) -2 ( 3x - 7 )= 0

\(\Leftrightarrow x^2-9-6x+14=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-5=0\\x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}\)

\(\left(x+3\right)\left(x-3\right)-2\left(3x-7\right)=0\)\(0\)

\(< =>x^2-9-6x+14=0\)

\(< =>x^2-6x+5=0\)

\(< =>\left(x-5\right)\left(x-1\right)=0\)

\(TH1:x-5=0\)

\(x=0+5\)

\(x=5\)

\(TH2:x-1=0\)

\(x=0+1\)

\(x=1\)

\(=>\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}\)

\(2,n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n lẻ \(\Rightarrow\)n có dạng \(2k+1\), thay vào ta có :

\(\Rightarrow\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right).2k.\left(2k+2\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)là 3 số tự nhiên liên tiếp

 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(⋮\)\(6\)

\(\Leftrightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(⋮\)\(48\)

\(\Rightarrow n^3+3n^2-n-3\)\(⋮\)\(48\)\(\left(đpcm\right)\)

Đề câu 1  bài đầu tiên sai rồi em. VD như n=3 lẻ thì n^2+4n+8 =29 không chia hết cho 8

Đề bài đúng: \(n^2+4n+3\) chia hết cho 8 với mọi n lẻ

Chứng minh: 

\(n^2+4n+3=n^2+n+3n+3=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Vì n lẻ nên : n=2k+1, k thuộc N

Ta có: \(n^2+4n+3=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì (k+1) và (k+2) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích của nó sẽ chia hết cho 2

=> 4 (k+1)(k+2) chia hết cho 8

nên \(n^2+4n+3\)chia hết cho 8 với n là số tự nhiên lẻ.

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca => 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0 => (a^2+b^2-ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac )=0 

=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =0 mà (a-b)^2 , (b-c)^2 , (c-a)^2 >=0 

=> a-b=b-c=c-a=0 => a=b=c

mà a^2+b^2+c^2=12 => 3a^2=12 => a^2=4 => a=2 hoặc -2

Vậy a=b=c=2 hoặc -2

TL:

Ta có:\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)

\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\) 

\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

 \(\Rightarrow a-b=0\) và \(a-c=0\) và\(b-c=0\) 

\(\Rightarrow a=b=c\) 

Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2=12\Rightarrow3a^2=12\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2;a=-2\) 

Vậy a=b=c=2 hoặc a=b=c=-2

Với số tự nhiên a bất kì thì a^2 chia 3 dư 0,1 ( Xét a=3k,a=3k+1,a=3k+2 )

Áp dụng :

VT chia 3 dư 0,1,2 VP chia 3 dư 0,1.

Do đó muốn có nghiệm thì a,b không được cùng số dư là 1 khi chia cho 3

=>Tồn tại một số chia hết cho 3.

Tương tự: a^2 chia 4 dư 0,1(xét a=4k,a=4k+1,a=4k+2,a=4k+3)

=>Tồn tại một số chia hết cho 4

a^2 chia 5 dư 0,1,4(xét a=5k,...)

VT chia 5 dư 0,1,2,3,4 mà VP chia 5 dư 0,1,4

Xảy ra khi tồn tại ít nhất một số bên vế phải chia hết cho 5

=>abc chia hết cho 3x4x5=60 (đpcm)

Giả thiết a, b, c nguyên; a² = b²+c² 

* ta biết số chính phương: n² khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1 
từ a² = b²+c², thấy b² và c² khi chia 3 không thể cùng dư 1 
vì nếu chúng cùng dư 1 thì a² = b²+c² chia 3 dư 2 vô lí 
=> hoặc b², hoặc c² có ít nhất 1 số chia 3 dư 0 => b hoặc c chia hết cho 3 
=> abc chia hết cho 3 (1) 

* ta biết số n² chia 4 dư 0 hoặc dư 1 
nếu n chẳn => n² chia 4 dư 0 
nếu n lẻ: n = 2k+1 => (2k+1)² = 4k²+4k+1 chia 4 dư 1 

từ a² = b²+c² => b² và c² khi chia 4 không thể cùng dư 1 
vì nếu b² và c² chia 4 đều dư 1 => b²+c² = a² chia 4 dư 2 trái lí luận trên 
=> hoặc b² hoặc c² (hoặc cả 2) chia 4 dư 0, chẳn hạn b² chia 4 dư 0 
+ nếu c² chia 4 dư 0 => b và c đều chia hết cho 2 => abc chia hết cho 4 
+ nếu c² chia 4 dư 1 => a² = b²+c² chia 4 dư 1 => a, c là 2 số lẻ 
a = 2n+1 ; c = 2m+1; có: b² = a²-c² = (a-c)(a+c) = (2n-2m)(2n+2m+2) 
=> b² = 4(n-m)(n+m+1) (**) 
ta lại thấy nếu m, n cùng chẳn hoặc cùng lẻ => n-m chẳn 
nếu m, n có 1 chẳn, 1 lẻ => m+n+1 chẳn 
=> (m-n)(m+n+1) chia hết cho 2 => b² = 4(m-n)(m+n+1) chia hết cho 8 
=> b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4 
Tóm lại abc luôn chia hết cho 4 (2) 

* lập luận tương tự thì thấy số n² chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 4 
+ b² và c² chia 5 không thể cùng dư 1 hoặc 4 
vì nếu cùng dư 1 => b²+c² = a² chia 5 dư 2 
nếu cùng dư là 4 thì b²+c² = a² chia 5 dư 3 
đều vô lí do a² chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4 
+ b² chia 5 dư 1 và c² chia 5 dư 4 (hoặc ngược lại) 
=> b²+c² = a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5 (do 5 nguyên tố) 
+ nếu b² hoặc c² chia 5 dư 0 => b (hoặc c ) chia hết cho 5 
Tóm lại vẫn có abc chia hết cho 5 (3) 

Từ (1), (2), (3) => abc chia hết cho 3, 4, 5 
=> abc chia hết cho [3,4,5] = 60 

Lời giải :

A B C D M K N

1) Xét hình thang ABCD có M là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD

=> MK là đường trung bình của hình thành ABCD

=> MK // BC // AD ( đpcm )

2) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN // BC

Mặt khác theo câu 1) ta có MK // BC

=> M, N, K thẳng hàng ( theo tiên đề Ơ-clid )

Vậy....

vì ABCD là hbh

=> AB//CD

BC//DA

vì AN//DC (AB//DC)

=>DMMN=MCMA (theo đl ta-lét) (1)

vì AD//CK (AD//AK)

=> MKMD=MCMA (theo đl ta-lét) (2)

từ (1) và(2) ta có

DMNM=MKDM

=> DM2=NM.MK (đpcm)