Với các số thực dương, chứng minh:\(\frac{a^3}{d}+\frac{b^3}{c}\ge\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{c^2+d^2}}\)

Giải hệ phương trình:

\(\sqrt{x^2+21}\)=\(\sqrt{y-1}\)+2y  và \(\sqrt{y^2+21}\)=\(\sqrt{x+1}\)+2x

Tìm số dư khi chia 13¹⁰¹ cho 612

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B thuộc (O),C thuộc (O') .tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I

a) Chứng minh BAC=90 độ

b)tính số đo góc OIO' 

c)tính độ dài cạnh BC biết OI=9 cm;O' I=4 cm

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC (AB<AC<BC) gọi D,E,F theo thứ tự là tiếp điểm của AB,BC,AC tia AO cắt đoạn thẳng EF tại P.   Chứng minh 

 a) (AB+AC)\2 >AD

 b) tứ giác BOPE nội tiếp

Cho tam giác ABC,M thuộc tam giác đó  AM,BM,CM,cắt BC ,CA,AB tại P,R,Q.Chứng minh:

a/ MA.BC +MB.CA +MC .AB  >=  4 diện tích tam giác ABC

b/ Xác định vị trí của m để diện tích tam giác PQR lớn nhất

Cho góc xAy và đường trong tâm O tiếp xúc với Ax tại B và cạnh Ay tại C. M là 1 điểm trên cung nhỏ BC của đường trong tâm O.Tiếp tuyến với đường tròng tâm O tại M, cắt AB tại D và cắt AC tại E.Chứng minh:

a/ Góc MBC = góc DOA

b/ Chu vi tam giác ADE không thay đổi khi M chạy trên cung nhỏ BC

Cho A = (1-\(\frac{1}{1+2}\)).(1-\(\frac{1}{1+2+3}\)).(1-\(\frac{1}{1+2+3+4}\))......(1-\(\frac{1}{1+2+3+.....+a}\))

1, Tính tích A .( Viết kết quả dưới dạng tổng quát  )  

2, áp dụng với a=2008 ² .Tính kết quả A viết dưới dạng phân số