Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết góc BCA < góc ABC < góc CAB < 90⁰. Gọi đường tròn (O) tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi D là giao điểm của tia AI với đường tròn (O), biết D khác A. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng AH với hai đường thẳng BD và CI, biết E nằm giữa hai điểm B và D.

1) Chứng minh BH = AB.cos góc ABC. Suy ra BC = AB.cos góc ABC + AC.cos góc BCA.

2) Chứng minh bốn điểm B, E, I, F cùng thuộc một đường tròn.

3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) với AB < AC. Lấy điểm M tùy ‎ trên cung nhỏ BC. Kẻ MP  AB, MQBC, MRAC.

a)     Chứng minh MQRC, MPBQ là các tứ giác nội tiếp được.

b)    Kẻ đường cao AD, CE của ∆ABC cắt nhau tại H. Đường kinh BK cắt DE tại I. Chứng minh tứ giác DCKI nội tiếp được.

c)     Kẻ CS  AM. Chứng minh PQ = SE.

d)    Chứng minh: tứ giác PSQE nội tiếp được

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R), ba đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm AH.

a)     Chứng minh: tứ giác BNMC nội tiếp và K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH

b)    Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh AM .AC =AN . AB và điểm L thuộc (O)

c)     Gọi I là giao điểm của AH và MN. Chứng minh; MB là taia phân giác của góc NMD và IH . AD = AI .DH

d)    Chứng minh I là trực tâm của ∆BKC

e)     Vẽ ML vuông góc với tia AB tại L. MK vuông góc với tia AC tại K. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC ( M khác B,C) để LK đạt nhỏ nhất.