A B E D C

Tam giác ABC cân tại A => AB=AC

=> góc ABC=ACB

Xét tam giác ECB và tam giác DBC có:

BC chung

góc BEC=CDB = 90 độ

góc EBC=DCB

=> tam giác ECB = tam giác DBC ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> BD=CE ( 2 cạnh tương ứng)

Cần có \(x^4+4\)là số nguyên tố nên ta đặt \(x^4+4=p\)với p là số nguyên tố roi giải PT nghiệm nguyên cho x theo p.

Có \(x^4+4=\left(x^2+2\right)^2-4x^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=p\)

Khi đó \(\left(x^2-2x+2\right),\left(x^2+2x+2\right)\inƯ\left(p\right)=\left\{1;p\right\}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2x+2=1\\x^2+2x+2=p\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\p=5\end{cases}}}\)

A B C x y z O

Ta có ^yBC = 180 -^B và ^zCB = 180-^C

Xét tam giác BOC có

^OBC = ^yBC/2 = (180-^B)/2

^OCB = ^zCB/2 = (180-^C)/2

^BOC = 180-(^OBC + ^OCB)=180-(180-^B)/2 - (180-^C)/2 = (^B + ^C)/2 (1)

Xét tg ABC có

^xAC = ^B+^C ( góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

=> (^B+^C)/2 = ^xAC/2 (2)

Từ (1) và (2) => ^BOC = ^xAC/2 mà ^xAC là góc ngoài ở đỉnh A (dpcm)

Giả sử rằng \(a+b+c+d\) là hợp số

Ta dễ có được: \(a^n+b^n+c^n+d^n-\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^n+b^n+c^n+d^n>2\rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\) là hợp số

Xét trường hợp \(a+b+c+d\) là số nguyên tố

Đặt \(a+b+c+d=p\Rightarrow a=p-b-c-d\Rightarrow ab=pb-b^2-bc-db\)

\(\Leftrightarrow cd=pb-b^2-bc-db\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b+d\right)=pb\)

Do p là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b+c⋮p\\b+d⋮p\end{cases}}\Rightarrow b+c>a+b+c+d\left(v\right)b+d>a+b+c+d\) * vô lý *

Vậy ta có đpcm

Một bài tập ứng dụng của bài toán trên ( được coi là bổ đề )

Tìm các số nguyên dương a;b thỏa mãn \(a^3+3\) là số chính phương và \(a^2+2\left(a+b\right)\) là số nguyên tố

^_^

Ta có : \(\left|x-1\right|\ge0\forall x\Rightarrow A=\left|x-1\right|+\frac{3}{5}\ge\frac{3}{5}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0

=> x = 1

Vậy Min A = 3/5 <=> x = 1

\(A=\left|x-1\right|+\frac{3}{5}\)

Vì \(\left|x-1\right|\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\frac{3}{5}\ge\frac{3}{5}\forall x\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(minA=\frac{3}{5}\)\(\Leftrightarrow x=1\)

                                             O A B C D E

a) Ta có : \(\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^o\)( kề bù )

                  \(135^o+\widehat{COB}=180^o\)

                                   \(\widehat{COB}=180^o-135^o\)

                                   \(\widehat{COB}=45^o\)

Ta có : \(\widehat{BOC}+\widehat{COD}=\widehat{BOD}\)

                \(45^o+\widehat{COD}=135^o\)

                              \(\widehat{COD}=135^o-45^o\)

                              \(\widehat{COD}=90^o\)

Ta có : \(\widehat{DOC}+\widehat{COE}=180^o\)( kề bù )

                 \(90^o+\widehat{COE}=180^o\)

                               \(\widehat{COE}=90^o\)

\(\Rightarrow OC\perp OE\)

b) Ta có : \(\widehat{COB}+\widehat{BOE}=\widehat{COE}\)

                    \(45^o+\widehat{BOE}=90^o\)

                                  \(\widehat{BOE}=90^o-45^o\)

                                  \(\widehat{BOE}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOE}=\widehat{COB}=\frac{\widehat{COE}}{2}\)

Vậy OB là tia phân giác của \(\widehat{COE}\)

                                                           Bài giải

A O B C D E

 Ta có : \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\left(=135^o\right)\)

 \(\widehat{DOC}\) chung và OC và OD cùng nằm trên cùng một nửa mặt phẳng nên \(\widehat{DOA}=\widehat{COB}\)

Mà \(\widehat{DOA}=\widehat{EOB}\) ( hai góc đối đỉnh ) nên \(\widehat{BOC}=\widehat{BOE}\)

\(\Rightarrow\text{ }OB\text{ là tia phân giác }\widehat{COE}\)

Ta có : \(\widehat{BOE}\) và \(\widehat{BOD}\) kề bù nên \(\widehat{BOE}+\widehat{BOD}=180^o\)

                                                       \(\Rightarrow\text{ }\widehat{BOE}+135^o=180^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{BOE}=45^o\)

  Ta lại có : \(\widehat{COD}+\widehat{COE}=180^o\)

\(\widehat{COD}+90^o=180^o\)

\(\widehat{COD}=90^o\)

\(\text{ }\Rightarrow\text{ }OC\perp OE\)

Hình nè mn

hình nè mn

Bài 1 :                                                             Bài giải

A B C D O

Ta có : \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\) ( hai góc đối đỉnh ) mà \(\widehat{AOC}+\widehat{BOD}=100^o\)\(\Rightarrow\text{ }\widehat{AOC}=\widehat{BOD}=\frac{1}{2}\cdot100^o=50^o\)

\(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) ( hai góc đối đỉnh ) mà \(\widehat{AOD}\) kề bù với \(\widehat{BOD}\) nên \(\widehat{AOD}+\widehat{BOD}=180^o\) 

                                                                                                                        \(\Rightarrow\text{ }\widehat{AOD}+50^o=180^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{AOD}=130^o\)

\(\Rightarrow\text{ }\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=130^o\)

Bài 2 :                                                Bài giải

N P Q M O

Ta có: 

\(\widehat{MOP}=\widehat{NOQ}\) ( hai góc đối đỉnh )

\(\widehat{NOP}=\widehat{MOQ}\)( hai góc đối đỉnh )

Ta lại có : \(\widehat{MOP}\text{ và }\widehat{NOP}\) là 2 góc kề bù nên \(\widehat{MOP}+\widehat{NOP}=180^o\)

Mà \(\widehat{NOP}=\frac{2}{3}\widehat{MOP}\) nên \(\widehat{MOP}+\frac{2}{3}\widehat{MOP}=180^o\)

                                            \(\Rightarrow\text{ }\frac{5}{3}\widehat{MOP}=180^o\text{ }\Rightarrow\text{ }\widehat{MOP}=108^o\)

                                                                                        \(\Rightarrow\text{ }\widehat{NOP}=\frac{2}{3}\cdot108^o=72^o\)

\(\Rightarrow\text{ }\widehat{MOP}=\widehat{NOQ}=108^o\)

\(\Rightarrow\text{ }\widehat{NOP}=\widehat{MOQ}=72^o\)

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\frac{ab+a}{b^2+1}\) 

\(\frac{a+1}{b+1}=\frac{b\left(a+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\frac{ab+b}{b^2+1}\) 

Vì \(a< b\) 

nên \(\frac{ab+a}{b^2+1}< \frac{ab+b}{b^2+1}\) 

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+1}{b+1}\)

Ta có:\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\frac{ab+a}{b\left(b+1\right)}\)

\(\frac{a+1}{b+1}=\frac{b\left(a+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\frac{ab+b}{b\left(b+1\right)}\)

Vì a < b => ab + a < ab + b

\(\Rightarrow\frac{ab+a}{b\left(b+1\right)}< \frac{ab+b}{b\left(b+1\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+1}{b+1}\left(đpcm\right)\)

Vậy...

Linz

nếu n < 2 thì 2n + n bình > 2n bình

        n>2 thì 2n +n bình < 2n bình

         n= 2 thì bằng nhau