Ta có : x³ + x = 0

=> x(x² + 1) = 0

=> x = 0 (Vì x² + 1 \(\ge1>0\forall x\))

Vậy x = 0

Ta có : x³ + x = 0

<=> x( x² + 1 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x² + 1 = 0

Vì x² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x

<=> x = 0

Vậy x = 0

6x²y + 9xy² - 12xy

= 3xy(2x + 3y - 4)

\(x\left(x^2-y\right)-x^2\left(x-y\right)+1817\)

\(=x^3-xy-\left(x^3-x^2y\right)+1817\)

\(=x^3-xy-x^3+x^2y+1817\)

\(=xy\left(x-1\right)+1817\)

Thế \(x=-1\)và \(y=100\)vào biểu thức sau khi rút gọn ta được: 

\(\left(-1\right).100.\left[\left(-1\right)-1\right]+1817=-100.\left(-2\right)+1817=2017\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 

\(\Sigma_{cyc}\sqrt{a+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b^2}{\sqrt{a+b^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)\sqrt{a+b^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a+b^2}\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a\left(a+b+c\right)+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a\left(a+b+c\right)+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\)

Như thế ta chỉ cần chứng minh

                     \(\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^5b^2+\Sigma_{cyc}a^4b^2c+2\Sigma_{cyc}a^5bc\ge2\Sigma_{cyc}a^3b^3c+2\Sigma_{cyc}a^3b^3c^2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{19}{6}a^5b^2+\frac{4}{19}b^5c^2+\frac{6}{19}c^5a^2-a^3b^2c^2\right)+abc\left(\Sigma_{cyc}a^3b-\Sigma_{cyc}a^2bc\right)+2abc\)\(\left(\Sigma_{cyc}a^4-\Sigma_{cyc}a^2b^2\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Hoặc \(a=1,b=c=0\) Và các hoán vị

a)x(x-1)-x(x-3)=0

=>x^2-x-x^2+3x=0

=>-x+3x=0

=>x=0

b)2x^2+2x+1/2=0

=>2(x^2+x+1/4)=0

=>(x+1/2)^2=0

=>x+1/2=0

=>x=-1/2

Q(x) = ( x - 2 )² - 2x( 3x - 2 )

= x² - 4x + 4 - 6x² + 4x

= -5x² + 4 . Thay x = 1 và Q(x)

=> Q(1) = -5.1² + 4 = - 5 + 4 = - 1

Ta có\(\left(x-2\right)^2-2x\left(3x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4-6x^2+4x\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x^2\right)+\left(-4x+4x\right)+4\)

\(\Leftrightarrow-5x^2+4\)

Thay x = 1 vào bt đã rút gọn

\(\Rightarrow-5\left(1\right)^2+4=-1\)

Vậy \(Q\left(x\right)=-1\)

xét tam giác EDA và tam giác CBA có

DA=AB(gt)

EA=AC(gt)

góc DAE=góc BAC( đđ)

=> tam giác EDA= tam giác CBA(cgc)

=> ABC=ADE( hai góc t/ứ) mà ABC so le trong với ADE=> ED//BC=> ID//BK mà ID=BK

=> IDKB là hbh=> DB giao IK tại trung điểm mỗi cạnh mà A là trung điểm BD=> A là trung điểm IK=> I đối xứng K qua A

tự kẻ hình ná:>>

a) Xét tam giác MBE và tam giác NCF có

MBE=NCF(=ACB)

MEB=NFC(=90 độ)

MB=NC(gt)

=> tam giác MBE= tam giác NCF(ch-gnh)

=>ME=NF( hai cạnh t/ứ)

ME//NF( cùng vuông góc với EF)

=> MENF là hbh (có hai cạnh đối // và bằng nhau)

b) Mx//BC=> Mx//EF=> EMK=MEF=90 độ

   vì N,F,K thẳng hàng=> NFE+EFK=180 độ mà NFE=90 độ=> EFK=90 độ

ta có trong tứ giác MEFK có KME=MEF=EFK=90 độ=> MEFK là hcn=> KF=ME mà ME=FN=> KF=FN=> F là trung điểm KN

EF vuông góc với KN tại F=> EF là đường trung trực => EK=EN