thanh niên này chắc VIP dài quá:))

** Max 

\(A^2=\left(\sqrt{x+y}\cdot1+\sqrt{y+z}\cdot1+\sqrt{z+x}\cdot1\right)^2\)

Theo bunhia ta có:

\(A^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

*** Min

Giả sử \(1\ge y\ge x\ge z\)

Ta có:

\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}\ge\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\sqrt{y\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow xz=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}}\)

Mặt khác:

\(\sqrt{y}+\sqrt{z+x}\ge\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y\left(z+x\right)}=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\orbr{\begin{cases}y=0\\z+x=0\end{cases}}\)

Kết hợp 2 dấu đẳng thức xảy ra thì \(x=z=0;y=1\)

Khi đó 

\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

\(\ge\sqrt{x+y+z}+\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{x+y+z}=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;0\right)\) và các hoán vị.

Em có cách này cho phần min nhưng không chắc lắm..

Min:

Giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(A=\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+y\right)}}\) (bình phương lên rồi lấy căn:v)

\(\ge\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{xz}+y\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}\ge\sqrt{4\left(x+y+z\right)}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.