A B C O M I N a b c c a b

Gọi M; N lần lượt là tiếp điểm của AB; AC  với đường tròn.

=> BI = BM = b; AM = AN = a; CN = CI = c

Theo bài ra :

AB . AC = 2IB. IC 

=> (AM + MB ) ( AN + NC) = 2IB . IC

=> ( a + b ) ( a + c ) = 2 bc

<=> a\(^2\)+ ab + ac + bc = 2bc 

<=> a\(^2\)+ ab + ac = bc

<=> 2a\(^2\)+2ab + 2ac = 2bc

<=> ( a\(^2\)+ 2ab + b\(^2\)) + ( a\(^2\)+ 2ac + c\(^2\)) = b\(^2\)+ 2bc + c\(^2\)

<=> (a + b ) \(^2\)+ ( a+ c )\(^2\)= ( b + c ) \(^2\)

=> AB \(^2\)+ AC \(^2\)= BC \(^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại A

=> ^A = 90 độ.

<=> (a² +2ab+b²)+(a²+2ac+c²)=(b²+2bc+c²) bước này ở đâu và làm sao để xuất hiện b² và c²  vậy ạ

ĐK: \(x\ge1\)

pt <=> \(\sqrt{x-1}+\sqrt{4\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-1}=3\)

<=> \(\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}-2\sqrt{x-1}=3\)

<=> \(\sqrt{x-1}=3\)

<=> x - 1 = 9

<=> x = 10 ( thỏa mãn)

Kết luận: Vậy x = 10.

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ nên d có phương trình dạng: y = ax

( d ) đi qua điểm N nên: 2 = a . 3 => a = \(\frac{2}{3}\)

Vậy phương trình đường thẳng d là: y = \(\frac{2}{3}\) x

Ta có: \(A=\left|x\right|.\sqrt{1-x^2}\le\frac{\left(\left|x\right|\right)^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left|x\right|=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ hoặc }x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: Em ko chắc.

ĐK: \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\b\ge0\\a+b\ge2011\end{cases}}\)

pt => \(a+b-2011=a+b+2011-2\sqrt{2011}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+2\left(\sqrt{ab}\right)\)

<=> \(2.2011-2\sqrt{2011}.\sqrt{a}-2\sqrt{2011}\sqrt{b}+2\sqrt{ab}=0\)

<=> \(\sqrt{2011}\left(\sqrt{2011}-\sqrt{a}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{2011}-\sqrt{a}\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{2011}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{2011}-\sqrt{b}\right)=0\)

<=> a = 2011 và b = 2011 ( thỏa mãn đk )

Thử lại với phương trình ta thấy thỏa mãn

Vậy a= b = 2011.