Chứng minh √7 là số vô tỉ

Cho ba số thực $x, y, z$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện $x>\dfrac{1}{4}, y>\dfrac{1}{3}, z>\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{4}{4 x+3}+\dfrac{3}{3 y+2}+\dfrac{2}{2 z+1} \geq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=(4 x-1)(3 y-1)(2 z-1)$.

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a\(\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}\right)+b\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-2\)

a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2

và a³+b³+c³=1. CMR  \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)

Cho tam giác nhọn $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $A D, BE, CF$ $(D \in B C, E \in AC, F \in AB)$ của tam giác cắt nhau tại $H, M$ là trung điểm của $B C$.
1. Chứng minh $A E H F$ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng $M E$ và $M F$ là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A E H F$.
3. Chứng minh $D E+D F \leq B C$.

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2

và a³+b³+c³=1. CMR  1a+1b+1c=1

Cho phương trình $x^{2}-2 x+m-1=0$ ( $m$ là tham số $)$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{4}-x_{1}^{3}=x_{2}^{4}-x_{2}^{3}$.

Giải phương trình $x^{2}-6 x+5=0$.