Xét hpt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+2.\dfrac{y}{x}=3\left(1\right)\\2x^2-3y=-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\) (đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\y\ne0\end{matrix}\right.\))

Từ (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+2y^2}{xy}=3\Rightarrow x^2+2y^2=3xy\Leftrightarrow x^2-3xy+2y^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2-xy-2xy+2y^2=0\Leftrightarrow x\left(x-y\right)-2y\left(x-y\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=2y\end{matrix}\right.\)

Xét trường hợp \(x=y\), thay vào (2), ta có \(2x^2-3x=-1\Leftrightarrow2x^2-3x+1=0\) (3)

pt (3) có tổng các hệ số bằng 0 nên pt này có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)(nhận)

Nếu \(x=1\Rightarrow y=1\) (vì \(x=y\)) (nhận)

Nếu \(x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\) (nhận)

Vậy ta tìm được 2 nghiệm của hpt đã cho là \(\left(1;1\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Xét trường hợp \(x=2y\), thay vào (2), ta có \(2.\left(2y\right)^2-3y=-1\Leftrightarrow8y^2-3y+1=0\) (4)

pt (4) có \(\Delta=\left(-3\right)^2-4.8.1=-23< 0\) nên pt này vô nghiệm.

Vậy hpt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\left(1;1\right);\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\right\}\)

a, Thay y = - 8 vào ta được \(-2x^2=-8\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy (P) đi qua A(2;-8) ; B(-2;-8) 

b, Hoành độ giao điểm tm pt 

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-2m=1>0\)

Vậy (P) cắt (d) luôn có 2 nghiệm pb 

\(x_1=m+1-1=m\);\(x_2=m+1+1=m+2\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2m\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< 0\)

Lại có \(-x_1=3x_2\Leftrightarrow x_1+3x_2=0\)

\(m+3\left(m+2\right)=0\Leftrightarrow4m+6=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{3}{2}\)(tm) 

a) Ta có: \(\left(2-\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\right)\left(2+\dfrac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\right)=\left[2-\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}+1}\right]\left[2+\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}\right]\)\(=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=4-3=1\) (đpcm)

b) Ta có \(A=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4\sqrt{x}+4}\)\(=\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)\(=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

ÁP dụng BĐT Mincopxki, ta có:

\(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y\right)^2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}}}=\sqrt{\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{xy}}\) (cô si)

\(\ge\sqrt{\dfrac{2.4xy}{xy}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\left(Côsi\right)\)

Min \(A=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)

Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)

Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)

pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)

Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)

đk x > 0 

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x}}{\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{7}{4}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x}+4-7\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}< 0\Leftrightarrow\dfrac{-3\sqrt{x}+4}{4\sqrt{x}}< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3\sqrt{x}+4\ne0\\-3\sqrt{x}+4< 0\\4\sqrt{x}\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{16}{9}\\x< \dfrac{16}{9}\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}9x-3y=-12\\2x+3y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11x=-11\\y=3x+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\)