a, x²(x - 3) + 12 - 4x = 0

<=> x²(x - 3) + 4(3 - x) = 0

<=> x²(x - 3) - 4(x - 3) = 0

<=> (x - 3)(x² - 4) = 0

<=> x - 3 = 0    hoặc   x² - 4 = 0

<=> x = 3                    x² = 4

<=> x = 3                    x = 2 hoặc x = -2

b, 2(x + 5) - x² - 5x = 0

<=>  2(x + 5) - x(x + 5) = 0

<=> (x + 5)(2 - x) = 0

<=> x + 5 = 0   hoặc 2 - x = 0

<=> x = -5                  x = 2

c, 2x(x + 2019) - x - 2019 = 0

<=> 2x(x + 2019) - (x + 2019) = 0

<=> (x + 2019)(2x - 1) = 0

<=> x + 2019 = 0  hoặc  2x - 1 = 0

<=> x = -2019                 2x = 1

<=> x = -2019                  x = 1/2

1) Vì AH\(\perp\)DC 

BK\(\perp\)DC 

=> AH//BK 

Mà BAH + AHK = 180° ( trong cùng phía) 

=> BAH = 90° 

Mà ABK + BKH = 180° ( trong cùng phía) 

=> ABK = 90° 

Mà BAH = AHK = 90° 

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía 

=> AB//HK 

=> ABKH là hình thang cân 

=> ABKH là hình thang cân 

=> AB = HK , AH = BK

b) Vì ABCD là hình thang cân 

=> AD = BC 

=> ADC = BCD 

Xét ∆ vuông AHD và ∆ vuông BKC ta có : 

AD = BC 

ADC = BCD 

=> ∆AHD = ∆BKC (ch-gn)

Mà DH = KC ( tương ứng) 

c) Ta có : 

DH + HK + KC = DC

Mà HK = AB 

=> DH + AB + KC = DC

DH + KC = DC - AB 

Mà DH = KC 

=> DH = \(\frac{1}{2}\)( CD - AB )

thêm hình cho bài nó hoàn chỉnh :))

A B D C H K

\(\left[...\right]=\left[n+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\right]=\left[n+1-\frac{1}{n+1}\right]=\left[n+\frac{n}{n+1}\right]\)

Do n dương nên \(\frac{n}{n+1}< 1\)\(\Rightarrow\)\(\left[n+\frac{n}{n+1}\right]=n\)

Ta có \(\frac{a}{b^3-1}=\frac{a}{\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)}=-\frac{1}{b^2+b+1}\)(Vì \(a+b=1\))

Từ đó, với \(a+b=1\)ta biến đổi VT của đẳng thức cần chứng minh như sau:

\(VT=-\left(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}\right)=\frac{-\left(a^2+b^2+a+b+2\right)}{a^2b^2+a^2b+ab^2+ab+a^2+b^2+a+b+1}\)

\(=\frac{-\left[\left(a+b\right)^2-2ab+a+b+2\right]}{a^2b^2+ab\left(a+b+1\right)+\left(a+b\right)^2-2ab+a+b+1}=\frac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}=VP\)

Vậy có ĐPCM.

a) \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)+b^2\left[\left(c-b\right)-\left(a-b\right)\right]+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b^2-c^2\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b-b-c\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

c) \(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

\(=\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+15\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15\left(1\right)\)

Đặt \(x^2+8x+11=y\)Thay vào (1) ta được 

\(\left(y-4\right)\left(y+4\right)+15\)

\(=y^2-16+15\)

\(=y^2-1\)

\(=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

\(=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+11\right)\)

Goi I là trực tâm của  thì I thuộc CH và .    (1)

Điều kiện cần: Từ (1), kết hợp với  suy ra 

suy ra , mà  do đó     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

Vậy, nếu  thì 

Điều kiện đủ:   trên tia đối của tia MQ lấy điểm R sao cho  thì BRCQ là hình bình hành, suy ra ,

kết hợp với  suy ra          (3)

Mặt khác, ta có  nên . Kết hợp với (1) suy ra     (4)

Từ (3) và (4) suy ra PRBI là hbh nên . Mà  do ó  suy ra CQIP là hbh, ta có 

Vậy, nếu  thì 

Kết luận:  khi và chỉ khi . => DPCM

A B C K L H M P Q J A B C H P Q K L M S T

+) Chứng minh HP = HQ \(\Rightarrow\) MP = MQ:

Gọi J là đối xứng của C qua H. Có ngay \(\Delta\)CQH = \(\Delta\)JPH (c.g.c) => JP // CQ vuông góc BH

Từ đó P là trực tâm của \(\Delta\)BJH. Đồng thời MH là đường trung bình trong \(\Delta\)BCJ (IH // BJ)

Do vậy MH vuông góc HP, mà H là trung điểm PQ nên HM là trung trực của PQ hay MP = MQ (*)

+) Chứng minh MP = MQ \(\Rightarrow\) HP = HQ:

Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A có điểm M nằm trên BC. Khi đó:

MB.MC = AB² - AM² nếu M thuộc đoạn BC; MB.MC = AM² - AB² nếu M nằm ngoài đoạn BC.

Giải bài toán: Gọi S,T thứ tự là hình chiếu của B,C trên PQ. Dễ chứng minh \(\Delta\)SMT cân tại M

Mà P,Q thuộc ST; \(\Delta\)PMQ cân tại M nên \(\Delta\)MPS = \(\Delta\)MQT (c.g.c) => PS = QT (1)

Dễ có HP.PS = PB.PL; HQ.QT = QC.QK  (2). Áp dụng Bổ đề ta có PB.PL = MB² - MP² = MC² - MQ² = QC.QK  (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra HP = HQ (**)

+) Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM.