Vì O là tâm của ngũ giác abcde nên O cũng là trọng tâm của ngũ giác nên vecto oa+ob+oc+od+oe=0

A B C O G I K L D E F M N P e

Gọi tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB thứ tự là D,E,F. G là trọng tâm của \(\Delta\)DEF.

Kéo dài AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại M,N,P (A khác M, B khác N, C khác P)

Dễ dàng chứng minh M,N,P lần lượt là điểm chính giữa các cung BC,CA,AB của (O)

Từ đó OM,ON,OP lần lượt vuông góc với BC,CA,AB và I là trực tâm của \(\Delta\)MNP

Ta có \(\Delta\)MNP với tâm ngoại tiếp O và trực tâm I, suy ra \(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\)

Chú ý rằng \(\overrightarrow{OM}=OM.\frac{\overrightarrow{ID}}{ID}=\frac{R}{r}\overrightarrow{ID}\). Từ đây \(\overrightarrow{OI}=\frac{R}{r}\left(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}\right)\)

Lại có G là trọng tâm của \(\Delta\)DEF nên \(\overrightarrow{3IG}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}\)

Do đó \(\overrightarrow{OI}=\frac{3R}{r}\overrightarrow{IG}\), suy ra ba điểm O,I,G thẳng hàng        (1)

Mặt khác, khi ta dựng vector đơn vị \(\overrightarrow{e}\)vuông góc với KL là hướng ra ngoài tứ giác BKLC

Thì \(KL.\overrightarrow{e}+BK.\overrightarrow{IF}+CL.\overrightarrow{IE}+BC.\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)(ĐL Con Nhím)

Suy ra \(KL.\overrightarrow{e}+3BC.\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{0}\)hay \(\overrightarrow{GI}=\frac{KL}{3BC}.\overrightarrow{e}\). Do vậy \(\overrightarrow{GI}\)// \(\overrightarrow{e}\)

Mà \(\overrightarrow{e}\)vuông góc với KL nên GI vuông góc KL        (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI cũng vuông góc với KL (đpcm).