\(M=\frac{15-x}{5-x}ĐK:x\ne5\)

Để M đạt GTLN <=> 5 - x là số nguyên dương nhỏ nhất có thể 

=)) 5 - x = 1 =)) x = 4

Thay vào M ta có : \(M=\frac{15-4}{5-4}=\frac{11}{1}=11\)

Vậy GTLN M = 11 <=> x = 4 

Xét biểu thức \(M=\frac{15-x}{5-x}=\frac{10+\left(5-x\right)}{5-x}=\frac{10}{5-x}+1\)

Để M đạt GTLN => \(\frac{10}{5-x}+1\)đạt GTLN => \(\frac{10}{5-x}\)đạt GTLN => \(5-x\)đạt GTNN 

Do \(5-x\)nguyên suy ra GTNN của \(5-x=1\)=> \(x=5-1=4\)

Với \(x=4\)=> \(M=\frac{15-4}{5-4}=\frac{11}{1}=11\)

Vậy GTLN của \(M=11\)đạt được khi và chỉ khi \(x=4\)

Có \(x+y+z=-23\)

\(\Rightarrow x-1+y+z+2=-23-1+2=-22\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{6}=\frac{x-1+y+z+2}{2+3+6}=-\frac{22}{11}=-2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x-1}{2}=-2\\\frac{y}{3}=-2\\\frac{z+2}{6}=-2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=-4\\y=-6\\z+2=-12\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=-6\\z=-14\end{cases}}\)

Ta có\(\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{3x-3}{9}=\frac{2y+2}{4}=\frac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất day tỉ số bằng nhau ta có 

\(\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{3x-3}{9}=\frac{2y+2}{4}=\frac{z}{5}=\frac{3x-3+2y+2+z}{9+4+5}=\frac{3x+2y+z-1}{18}\)

                                                                                                                                            \(=\frac{18}{3x+2y+z-1}\)

=> \(\left(3x+2y+z-1\right)^2=18^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x+2y+z-1=18\\3x+2y+z-1=-18\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x+2y+z=19\\3x+2y+z=-17\end{cases}}\)

Khi 3x + 2y +z = 19

=> \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{5}=\frac{18}{19-1}=1\)

=> \(\hept{\begin{cases}x-1=3\\y+1=2\\z=5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=1\\z=5\end{cases}}\)

Khi 3x + 2y + z = -17

=> \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{5}=\frac{18}{-17-1}=-1\)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}x-1=-3\\y+1=-2\\z=-5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-3\\z=-5\end{cases}}\)

Vậy các cặp (x;y;z)thỏa mãn là (4;1;5) ; (-2;-3;-5)

Ta có \(\frac{x}{19}=\frac{y}{21}\Rightarrow\frac{2x}{38}=\frac{y}{21}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{x}{19}=\frac{y}{21}=\frac{2x}{38}=\frac{2x-y}{38-21}=\frac{34}{17}=2\)

=> \(\hept{\begin{cases}x=19.2=38\\y=21.2=42\end{cases}}\)

Vậy x = 38 ;y = 42

Đặt \(A=\frac{2006^{2005}+1}{2006^{2006}+1}\) và \(B=\frac{2006^{2007}+1}{2006^{2008}+1}\)

Ta có: \(A=\frac{2006^{2005}+1}{2006^{2006}+1}\)

\(\Rightarrow2006A=\frac{2006^{2006}+2006}{2006^{2006}+1}=\frac{2006^{2006}+1+2005}{2006^{2006}+1}=1+\frac{2005}{2006^{2006}+1}\)

Lại có: \(B=\frac{2006^{2007}+1}{2006^{2008}+1}\)

\(\Rightarrow2006B=\frac{2006^{2008}+2006}{2006^{2008}+1}=\frac{2006^{2006}+1+2005}{2006^{2008}+1}=1+\frac{2005}{2006^{2008}+1}\)

Vì \(\frac{2005}{2006^{2006}+1}>\frac{2005}{2006^{2008}+1}\) nên \(1+\frac{2005}{2006^{2006}+1}>1+\frac{2005}{2006^{2008}+1}\)

hay 2006A > 2006B

\(\Rightarrow A>B\)

Vậy A > B.