Nhận xét: Vế đầu của BĐT luôn đúng vì:

\(3\left(x^3+y^3+z^3\right)-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)=\sum\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)\ge0\)

Bây giờ ta sẽ chứng mình vế sau.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}p=x+y+z=2\\q=xy+yz+xz\\r=xyz\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x^3+y^3+z^3=p^3-3pq+3r=8-6q+3r\)

\(x^4+y^4+z^4=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)=2q^2-16q+8r+16\)

Do đó ta cần chứng minh: 

\(8-6q+3r\le q^2-8q+4r+8+1\)

\(\Leftrightarrow r+\left(q-1\right)^2\ge0\)

Điều này luôn đúng với mọi \(x,y,z\ge0\).

A B C M K E O D

Do AMKE là hình vuông => AK là phân giác \(\widehat{BAC}\)

Dựng đường phân giác của \(\widehat{B}\) cắt AK tại O => O là tâm đường tròn nội tiếp tg ABC

Từ O dựng đường thẳng vuông góc và cắt AB tại D => OD là bán kính đường tròn nội tiếp tg ABC

Xét tg vuông AMK có

\(KM\perp AB;OD\perp AB\) => KM//OD

Gọi độ dài cạnh hình vuông AMKE là a \(\Rightarrow MK=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{OD}=\dfrac{AK}{AO}\Rightarrow\dfrac{a\sqrt{2}}{AO}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\Rightarrow AO=\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}\)

\(\Rightarrow KO=AK-AO=a\sqrt{2}-\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\dfrac{2a}{\sqrt{2}+2}\)

Xét tg ABK có

\(\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{KO}{BK}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{AO}{AM+BM}=\dfrac{KO}{BK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}}{a+BM}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}}{BK}\Rightarrow\dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}.\dfrac{\sqrt{2}+2}{2a}=\dfrac{a+BM}{BK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+BM}{BK}=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{MK+BM}{BK}=\dfrac{MK}{BK}+\dfrac{BM}{BK}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{B}+\sin\widehat{MKB}=\sqrt{2}\)

Mà \(KM\perp AB;AC\perp AB\) => KM//AC \(\Rightarrow\widehat{MKB}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{B}+\sin\widehat{C}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\sin\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\cos45^o\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow\cos\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=0\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=45^o\)

 

tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x²-2mx+3 trên đoạn (1, +∞)

tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x2-2mx++m²+4 đồng biến trên khoảng (1, +∞)

\(\dfrac{x+\sqrt{11}}{x^2+2x\sqrt{11}+11}\) = \(\dfrac{x+\sqrt{11}}{(x+\sqrt{11)}^2}\) =  x +\(\sqrt{11}\)

$\frac{x+\sqrt{11}}{x^2+2x\sqrt{11}+11}$ = $\frac{x+\sqrt{11}}{(x+{\sqrt{11)}}^2}$ =  x +$\sqrt{11}$

\(\dfrac{x^2-3}{x-\sqrt{3}}\) = \(\dfrac{x^2-\sqrt{3^2}}{x-\sqrt{3}}\) = \(\dfrac{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}{x-\sqrt{3}}\) = x +\(\sqrt{3}\)

\(\dfrac{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}{x-\sqrt{3}}=x+\sqrt{3}\)

đề bài có sai không nhỉ sao biểu thức không đối xứng